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标题: 再来一道奥数题 [打印本页]

作者: oye妈妈 时间: 2010-11-19 21:58
标题: 再来一道奥数题
再来一道奥数题和大家讨论一下，看看怎么解最简单？

200名同学编为1至200号面向南站成一排.第1次全体同学向右转 (转后所有的同学面朝西):第2次编号为2的倍数的同学向右转；第3次编号为3的倍数的同学向右转;……;第200次编号为200的倍数的同学向右转；这时，面向东的同学有

名.

作者: qdylz 时间: 2010-11-21 09:22
标题: 回复 #1 oye妈妈的帖子
这个好像要用到200以内质数。

面朝西的只有一个，就是1号？
面朝北的有200以内的质数个（具体是几个记不清了）？

面朝东的就是200以内的质数与质数乘积的个数？

但是这样好像还不完整，

因为转了5次、6次、7次的也分别朝西、朝北、朝东

因此朝西、朝北、朝东的分别转了（1次+5次）、（2次+6次）和（3次+7次）的。

8次以上的还没有想好

例如192＝1×2×2×2×2×2×2×3

1、2、3、4、6、8、12、16、24、32、48、64、96、192共转了14次

[ 本帖最后由 qdylz 于 2010-11-21 11:24 编辑 ]

作者: qdylz 时间: 2010-11-21 22:00
1-100质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97共25个
101-200质数有19个
转2次的25+19＝44个，即朝北的一部分。

转3次的有：
1、质数的平方数：4、9、25、49、121、169共6个；
2、2与其余24个100以内质数的乘积共24个；
3、3与5-61间质数的乘积共16个；
4、5与7-37间质数的乘积共9个；
5、7与11-23间质数的乘积共4个；
6、11与13和17的乘积共2个。

转3次的有6+24+16+9+4+2＝61个。

作者: qdylz 时间: 2010-11-21 22:20
转7次和转11次的也是面朝东，但计算比较复杂。

最简单的办法是找200个计算好的学生，实际演练一下，10分钟搞定。

作者: jiangying 时间: 2010-11-22 13:21
只有转3次的才行，没有转7次的数
转7次的最小的数为2X3X4X5X6,远大于200，
基于这样的考虑，只需要判断转3次的就可以了

转3次的数只有3个约数，那么包括他自己和1，以外只有有一个约数
这个数只能是质数的完全平方数，
它们是：4，9，25，49，121，169
一共6个

作者: jymm222 时间: 2010-11-22 13:27
题目：
200名同学编为1至200号面向南站成一排。第1次全体同学向右转 (转后所有的同学面朝西)；第2次编号为2的倍数的同学向右转；第3次编号为3的倍数的同学向右转；……；第200次编号为200的倍数的同学向右转。这时，面向东的同学有多少名？

思路：
N=axb，N为1～200的自然数，a,b为N的约数。
a不等于b时，N同学转2次；a等于b时，N同学只能转1次。

如总共转偶数次，则最后不能面向东，因此平方数（2的平方～14的平方）才可能最后面向东。

平方数N＝axa。
a为质数时，总共转3次：1，a，N。最后面向东。这些数为：2平方，3平方，5平方，7平方，11平方，13平方。6个。

a为合数时：（省略号后面的约数不必计算，与前面的对应就是）
4平方的约数：1，2，(4)...
6平方的约数：1，2，3，4，(6)...
8平方的约数：1，2，4，(8)...
9平方的约数：1，3，(9)...
10平方的约数：1，2，4，5，(10)...
12平方的约数：1，2，3，4，6，8，(12)......
14平方的约数：1，2，4，7，(14)................
在此范围内，总共转7次和转15次的同学，最后面向东。这些数为：8平方，12平方。2个

这样，总共8个。

[ 本帖最后由 jymm222 于 2010-11-26 08:22 编辑 ]

作者: jiangying 时间: 2010-11-22 13:28
标题: 回复 #5 jiangying 的帖子
不对，约数为7的数还有其他的，我再想想？

作者: jiangying 时间: 2010-11-22 14:00
5楼的做法有问题
新的思路：这个是个求约数个数的问题，约数个数在4n-1的数符合条件
根据约数个数公式计算
约数个数为3时，质数的平方数，共6个
约数个数为7时，必然只有一个质因数，且次数为6，因此只能是2的6次方
约数个数为11时，必然只有一个质因数，且次数为10，无满足条件的数
约数个数为15时，只有一个质因数时，次数为1，无满足条件的数，两个质因数时，一个次数为3，一个为5，只能是144。

jymm222 答案中的有一步没看懂

作者: jymm222 时间: 2010-11-22 14:32
解释一下这句：
N=axb，N为1～200的自然数，a,b为N的约数。
a不等于b时，N同学转2次；a等于b时，N同学只能转1次。

转2次指在a和b时各一次，如果a=b，就只有一次，不是总次数，只是其中一个环节。

作者: jiangying 时间: 2010-11-22 14:40
标题: 回复 #9 jymm222 的帖子
没明白为啥只有平方数才能是奇数次？

作者: jiangying 时间: 2010-11-22 14:58
jymm222的思路我还是没想明白

不过
根据约数个数公式，约数个数为质因数次数加一的积

只有当所有质因数的次数是偶数的时侯，约数才能是奇数个。
所以只能在平方数中选择

答案是8是正确的

作者: oye妈妈 时间: 2010-11-22 15:06
每个同学向右转的次数就是他的编号的约数的个数，只有约数个数被4除余3的数，最后面向东。
约数个数为3的数有：2的平方，3的平方，5的平方，7的平方，11的平方，13的平方，共6个数，
约数个数为7的数有：2的6次方，1个
约数个数为15的数有：3的2次方*2的4次方=144，1个，
一共有8个满足条件的编号。

作者: jiangying 时间: 2010-11-22 15:31
jymm222 太厉害，佩服得五体投地

作者: jymm222 时间: 2010-11-22 15:42
标题: 回复 #13 jiangying 的帖子
不能这么说，碰巧清醒而已。早就非常非常非常佩服你们了。

作者: oye妈妈 时间: 2010-11-22 18:45

原帖由 jiangying 于 2010-11-22 15:31 发表
jymm222 太厉害，佩服得五体投地

确实是太厉害了。非常地佩服！

作者: qdylz 时间: 2010-11-22 22:38
jymm222厉害，佩服佩服！

我连发了3贴都没有做对，jymm222一个短信就做出来了

可能我连续地犯晕，jymm222终于忍不住跳了出来，

哈哈，也算抛砖引玉了。

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