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标题:
鸡兔同笼各种精彩解法赏析
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作者:
冷眼以对
时间:
2010-1-26 14:43
标题:
鸡兔同笼各种精彩解法赏析
鸡兔同笼
这个问题，是我国古代著名趣题之一。大约在
1500
年前，《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题。书中是这样叙述的：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？这四句话的意思是：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有
35
个头；从下面数，有
94
只脚。求笼中各有几只鸡和兔？解答思路是这样的：假如砍去每只鸡、每只兔一半的脚，则每只鸡就变成了“独角鸡”，每只兔就变成了“双脚兔”。这样，（
1
）鸡和兔的脚的总数就由
94
只变成了
47
只；（
2
）如果笼子里有一只兔子，则脚的总数就比头的总数多
1
。因此，脚的总只数
47
与总头数
35
的差，就是兔子的只数，即
47
－
35
＝
12
（只）。显然，鸡的只数就是
35
－
12
＝
23
（只）了。
用方程也可以。这一思路新颖而奇特，其“砍足法”也令古今中外数学家赞叹不已。这种思维方法叫化归法。化归法就是在解决问题时，先不对问题采取直接的分析，而是将题中的条件或问题进行变形，使之转化，直到最终把它归成某个已经解决的问题。
[
本帖最后由 qdylz 于 2010-1-27 08:39 编辑
]
作者:
冷眼以对
时间:
2010-1-26 14:44
标题:
鸡兔同笼（二）
《孙子算经》上的解法很巧妙，它是按公式：兔数
足数－头数来算的，具体计算是这样的：兔数
（只），鸡数＝头数－免数＝
35
－
12
＝
23
，并且书中还给出了公式的来历：把足数除以
2
以后，每只鸡只剩下一足，每只兔剩下两足了，减去头数，就相当于每只鸡兔再减去一只，鸡足减完了，剩下的每只兔只有一足了，此时所剩足数恰好等于兔子头数
.
1.
班主任张老师带五年级（
2
）班
50
名同学栽树，张老师栽
5
棵，男生每人栽
3
棵，女生每人栽
2
棵，总共栽树
120
棵，问几名男生，几名女生？
2.
大油瓶每瓶装
4
千克，小油瓶
2
瓶装
1
千克，现有
100
千克油装了共
60
个瓶子。问大小油瓶各多少个？
3.
小毛参加数学竞赛，共做
20
道题，得
64
分，已知做对一道得
5
分，不做得
0
分，错一题扣
1
分，又知道他做错的题和没做的同样多。问小毛做对几道题？
4.
有蜘蛛，蜻蜓，蝉三种动物共
18
只，共有腿
118
条，翅膀
20
对（蜘蛛
8
条腿；蜻蜓
6
条腿，
2
对翅膀；蝉
6
条腿，
1
对翅膀），三种动物各几只？
作者:
冷眼以对
时间:
2010-1-26 14:48
标题:
鸡兔同笼（三）
典型应用题之鸡兔同笼
一
,
基本问题
"
鸡兔同笼
"
是一类有名的中国古算题
.
最早出现在《孙子算经》中
.
许多小学算术应用题都可以转化成这类问题
,
或者用解它的典型解法
--"
假设法
"
来求解
.
因此很有必要学会它的解法和思路
.
例
1
有若干只鸡和兔子
,
它们共有
88
个头
,244
只脚
,
鸡和兔各有多少只
解
:
我们设想
,
每只鸡都是
"
金鸡独立
",
一只脚站着
;
而每只兔子都用两条后腿
,
像人一样用两只脚站着
.
现在
,
地面上出现脚的总数的一半
,
·也就是
244
÷
2=122(
只
).
在
122
这个数里
,
鸡的头数算了一次
,
兔子的头数相当于算了两次
.
因此从
122
减去总头数
88,
剩下的就是兔子头数
122-88=34,
有
34
只兔子
.
当然鸡就有
54
只
.
答
:
有兔子
34
只
,
鸡
54
只
.
上面的计算
,
可以归结为下面算式
:
总脚数÷
2-
总头数
=
兔子数
.
上面的解法是《孙子算经》中记载的
.
做一次除法和一次减法
,
马上能求出兔子数
,
多简单
!
能够这样算
,
主要利用了兔和鸡的脚数分别是
4
和
2,4
又是
2
的
2
倍
.
可是
,
当其他问题转化成这类问题时
,"
脚数
"
就不一定是
4
和
2,
上面的计算方法就行不通
.
因此
,
我们对这类问题给出一种一般解法
.
还说例
1.
如果设想
88
只都是兔子
,
那么就有
4
×
88
只脚
,
比
244
只脚多了
88
×
4-244=108(
只
).
每只鸡比兔子少
(4-2)
只脚
,
所以共有鸡
(88
×
4-244)
÷
(4-2)= 54(
只
).
说明我们设想的
88
只
"
兔子
"
中
,
有
54
只不是兔子
.
而是鸡
.
因此可以列出公式
鸡数
=(
兔脚数×总头数
-
总脚数
)
÷
(
兔脚数
-
鸡脚数
).
当然
,
我们也可以设想
88
只都是
"
鸡
",
那么共有脚
2
×
88=176(
只
),
比
244
只脚少了
244-176=68(
只
).
每只鸡比每只兔子少
(4-2)
只脚
, 68
÷
2=34(
只
).
说明设想中的
"
鸡
",
有
34
只是兔子
,
也可以列出公式
兔数
=(
总脚数
-
鸡脚数×总头数
)
÷
(
兔脚数
-
鸡脚数
).
上面两个公式不必都用
,
用其中一个算出兔数或鸡数
,
再用总头数去减
,
就知道另一个数
.
假设全是鸡
,
或者全是兔
,
通常用这样的思路求解
,
有人称为
"
假设法
".
现在
,
拿一个具体问题来试试上面的公式
.
例
2
红铅笔每支
0.19
元
,
蓝铅笔每支
0.11
元
,
两种铅笔共买了
16
支
,
花了
2.80
元
.
问红
,
蓝铅笔各买几支
解
:
以
"
分
"
作为钱的单位
.
我们设想
,
一种
"
鸡
"
有
11
只脚
,
一种
"
兔子
"
有
19
只脚
,
它们共有
16
个头
,280
只脚
.
现在已经把买铅笔问题
,
转化成
"
鸡兔同笼
"
问题了
.
利用上面算兔数公式
,
就有
蓝笔数
=(19
×
16-280)
÷
(19-11) =24
÷
8 =3(
支
).
红笔数
=16-3=13(
支
).
答
:
买了
13
支红铅笔和
3
支蓝铅笔
.
对于这类问题的计算
,
常常可以利用已知脚数的特殊性
.
例
2
中的
"
脚数
"19
与
11
之和是
30.
我们也可以设想
16
只中
,8
只是
"
兔子
",8
只是
"
鸡
",
根据这一设想
,
脚数是
8
×
(11+19)=240.
比
280
少
40. 40
÷
(19-11)=5.
就知道设想中的
8
只
"
鸡
"
应少
5
只
,
也就是
"
鸡
"(
蓝铅笔
)
数是
3. 30
×
8
比
19
×
16
或
11
×
16
要容易计算些
.
利用已知数的特殊性
,
靠心算来完成计算
.
实际上
,
可以任意设想一个方便的兔数或鸡数
.
例如
,
设想
16
只中
,"
兔数
"
为
10,"
鸡数
"
为
6,
就有脚数
19
×
10+11
×
6=256.
比
280
少
24. 24
÷
(19-11)=3,
就知道设想
6
只
"
鸡
",
要少
3
只
.
要使设想的数
,
能给计算带来方便
,
常常取决于你的心算本领
.
作者:
冷眼以对
时间:
2010-1-26 14:49
标题:
鸡兔同笼（四）
下面再举四个稍有难度的例子
.
例
3
一份稿件
,
甲单独打字需
6
小时完成
.
乙单独打字需
10
小时完成
,
现在甲单独打若干小时后
,
因有事由乙接着打完
,
共用了
7
小时
.
甲打字用了多少小时
解
:
我们把这份稿件平均分成
30
份
(30
是
6
和
10
的最小公倍数
),
甲每小时打
30
÷
6=5(
份
),
乙每小时打
30
÷
10=3(
份
).
现在把甲打字的时间看成
"
兔
"
头数
,
乙打字的时间看成
"
鸡
"
头数
,
总头数是
7."
兔
"
的脚数是
5,"
鸡
"
的脚数是
3,
总脚数是
30,
就把问题转化成
"
鸡兔同笼
"
问题了
.
根据前面的公式
"
兔
"
数
=(30-3
×
7)
÷
(5-3) =4.5, "
鸡
"
数
=7-4.5 =2.5,
也就是甲打字用了
4.5
小时
,
乙打字用了
2.5
小时
.
答
:
甲打字用了
4
小时
30
分
.
例
4
今年是
1998
年
,
父母年龄
(
整数
)
和是
78
岁
,
兄弟的年龄和是
17
岁
.
四年后
(2002
年
)
父的年龄是弟的年龄的
4
倍
,
母的年龄是兄的年龄的
3
倍
.
那么当父的年龄是兄的年龄的
3
倍时
,
是公元哪一年
解
:4
年后
,
两人年龄和都要加
8.
此时兄弟年龄之和是
17+8=25,
父母年龄之和是
78+8=86.
我们可以把兄的年龄看作
"
鸡
"
头数
,
弟的年龄看作
"
兔
"
头数
.25
是
"
总头数
".86
是
"
总脚数
".
根据公式
,
兄的年龄是
(25
×
4-86)
÷
(4-3)=14(
岁
). 1998
年
,
兄年龄是
14-4=10(
岁
).
父年龄是
(25-14)
×
4-4=40(
岁
).
因此
,
当父的年龄是兄的年龄的
3
倍时
,
兄的年龄是
(40-10)
÷
(3-1)=15(
岁
).
这是
2003
年
.
答
:
公元
2003
年时
,
父年龄是兄年龄的
3
倍
.
例
5
蜘蛛有
8
条腿
,
蜻蜓有
6
条腿和
2
对翅膀
,
蝉有
6
条腿和
1
对翅膀
.
现在这三种小虫共
18
只
,
有
118
条腿和
20
对翅膀
.
每种小虫各几只
解
:
因为蜻蜓和蝉都有
6
条腿
,
所以从腿的数目来考虑
,
可以把小虫分成
"8
条腿
"
与
"6
条腿
"
两种
.
利用公式就可以算出
8
条腿的
蜘蛛数
=(118-6
×
18)
÷
(8-6) =5(
只
).
因此就知道
6
条腿的小虫共
18-5=13(
只
).
也就是蜻蜓和蝉共有
13
只
,
它们共有
20
对翅膀
.
再利用一次公式
蝉数
=(13
×
2-20)
÷
(2-1)=6(
只
).
因此蜻蜓数是
13-6=7(
只
).
答
:
有
5
只蜘蛛
,7
只蜻蜓
,6
只蝉
.
作者:
冷眼以对
时间:
2010-1-26 14:51
标题:
鸡兔同笼（五）
例
6
某次数学考试考五道题
,
全班
52
人参加
,
共做对
181
道题
,
已知每人至少做对
1
道题
,
做对
1
道的有
7
人
,5
道全对的有
6
人
,
做对
2
道和
3
道的人数一样多
,
那么做对
4
道的人数有多少人
解
:
对
2
道
,3
道
,4
道题的人共有
52-7-6=39(
人
).
他们共做对
181-1
×
7-5
×
6=144(
道
).
由于对
2
道和
3
道题的人数一样多
,
我们就可以把他们看作是对
2.5
道题的人
((2+3)
÷
2=2.5).
这样
兔脚数
=4,
鸡脚数
=2.5,
总脚数
=144,
总头数
=39.
对
4
道题的有
(144-2.5
×
39)
÷
(4-1.5)=31(
人
).
答
:
做对
4
道题的有
31
人
.
习题一
1.
龟鹤共有
100
个头
,350
只脚
.
龟
,
鹤各多少只
2.
学校有象棋
,
跳棋共
26
副
,
恰好可供
120
个学生同时进行活动
.
象棋
2
人下一副棋
,
跳棋
6
人下一副
.
象棋和跳棋各有几副
3.
一些
2
分和
5
分的硬币
,
共值
2.99
元
,
其中
2
分硬币个数是
5
分硬币个数的
4
倍
,
问
5
分硬币有多少个
4.
某人领得工资
240
元
,
有
2
元
,5
元
,10
元三种人民币
,
共
50
张
,
其中
2
元与
5
元的张数一样多
.
那么
2
元
,5
元
,10
元各有多少张
5.
一件工程
,
甲单独做
12
天完成
,
乙单独做
18
天完成
,
现在甲做了若干天后
,
再由乙接着单独做完余下的部分
,
这样前后共用了
16
天
.
甲先做了多少天
6.
摩托车赛全程长
281
千米
,
全程被划分成若干个阶段
,
每一阶段中
,
有的是由一段上坡路
(3
千米
),
一段平路
(4
千米
),
一段下坡路
(2
千米
)
和一段平路
(4
千米
)
组成的
;
有的是由一段上坡路
(3
千米
),
一段下坡路
(2
千米
)
和一段平路
(4
千米
)
组成的
.
已知摩托车跑完全程后
,
共跑了
25
段上坡路
.
全程中包含这两种阶段各几段
7.
用
1
元钱买
4
分
,8
分
,1
角的邮票共
15
张
,
问最多可以买
1
角的邮票多少张
作者:
冷眼以对
时间:
2010-1-26 14:54
标题:
鸡兔同笼（六）
二
,"
两数之差
"
的问题
鸡兔同笼中的总头数是
"
两数之和
",
如果把条件换成
"
两数之差
",
又应该怎样去解呢
例
7
买一些
4
分和
8
分的邮票
,
共花
6
元
8
角
.
已知
8
分的邮票比
4
分的邮票多
40
张
,
那么两种邮票各买了多少张
解一
:
如果拿出
40
张
8
分的邮票
,
余下的邮票中
8
分与
4
分的张数就一样多
. (680-8
×
40)
÷
(8+4)=30(
张
),
这就知道
,
余下的邮票中
,8
分和
4
分的各有
30
张
.
因此
8
分邮票有
40+30=70(
张
).
答
:
买了
8
分的邮票
70
张
,4
分的邮票
30
张
.
也可以用任意假设一个数的办法
.
解二
:
譬如
,
假设有
20
张
4
分
,
根据条件
"8
分比
4
分多
40
张
",
那么应有
60
张
8
分
.
以
"
分
"
作为计算单位
,
此时邮票总值是
4
×
20+8
×
60=560.
比
680
少
,
因此还要增加邮票
.
为了保持
"
差
"
是
40,
每增加
1
张
4
分
,
就要增加
1
张
8
分
,
每种要增加的张数是
(680-4
×
20-8
×
60)
÷
(4+8)=10(
张
).
因此
4
分有
20+10=30(
张
),8
分有
60+10=70(
张
).
例
8
一项工程
,
如果全是晴天
,15
天可以完成
.
倘若下雨
,
雨天一天
工程要多少天才能完成
解
:
类似于例
3,
我们设工程的全部工作量是
150
份
,
晴天每天完成
10
份
,
雨天每天完成
8
份
.
用上一例题解一的方法
,
晴天有
(150-8
×
3)
÷
(10+8)= 7(
天
).
雨天是
7+3=10
天
,
总共
7+10=17(
天
).
答
:
这项工程
17
天完成
.
请注意
,
如果把
"
雨天比晴天多
3
天
"
去掉
,
而换成已知工程是
17
天完成
,
由此又回到上一节的问题
.
差是
3,
与和是
17,
知道其一
,
就能推算出另一个
.
这说明了例
7,
例
8
与上一节基本问题之间的关系
.
总脚数是
"
两数之和
",
如果把条件换成
"
两数之差
",
又应该怎样去解呢
例
9
鸡与兔共
100
只
,
鸡的脚数比兔的脚数少
28.
问鸡与兔各几只
解一
:
假如再补上
28
只鸡脚
,
也就是再有鸡
28
÷
2=14(
只
),
鸡与兔脚数就相等
,
兔的脚是鸡的脚
4
÷
2=2(
倍
),
于是鸡的只数是兔的只数的
2
倍
.
兔的只数是
(100+28
÷
2)
÷
(2+1)=38(
只
).
鸡是
100-38=62(
只
).
答
:
鸡
62
只
,
兔
38
只
.
当然也可以去掉兔
28
÷
4=7(
只
).
兔的只数是
(100-28
÷
4)
÷
(2+1)+7=38(
只
).
也可以用任意假设一个数的办法
.
解二
:
假设有
50
只鸡
,
就有兔
100-50=50(
只
).
此时脚数之差是
4
×
50-2
×
50=100,
比
28
多了
72.
就说明假设的兔数多了
(
鸡数少了
).
为了保持总数是
100,
一只兔换成一只鸡
,
少了
4
只兔脚
,
多了
2
只鸡脚
,
相差为
6
只
(
千万注意
,
不是
2).
因此要减少的兔数是
(100-28)
÷
(4+2)=12(
只
).
兔只数是
50-12=38(
只
).
另外
,
还存在下面这样的问题
:
总头数换成
"
两数之差
",
总脚数也换成
"
两数之差
".
作者:
冷眼以对
时间:
2010-1-26 14:55
标题:
鸡兔同笼（七）
例
10
古诗中
,
五言绝句是四句诗
,
每句都是五个字
;
七言绝句是四句诗
,
每句都是七个字
.
有一诗选集
,
其中五言绝句比七言绝句多
13
首
,
总字数却反而少了
20
个字
.
问两种诗各多少首
.
解一
:
如果去掉
13
首五言绝句
,
两种诗首数就相等
,
此时字数相差
13
×
5
×
4+20=280(
字
).
每首字数相差
7
×
4-5
×
4=8(
字
).
因此
,
七言绝句有
28
÷
(28-20)=35(
首
).
五言绝句有
35+13=48(
首
).
答
:
五言绝句
48
首
,
七言绝句
35
首
.
解二
:
假设五言绝句是
23
首
,
那么根据相差
13
首
,
七言绝句是
10
首
.
字数分别是
20
×
23=460(
字
),28
×
10=280(
字
),
五言绝句的字数
,
反而多了
460-280=180(
字
).
与题目中
"
少
20
字
"
相差
180+20=200(
字
).
说明假设诗的首数少了
.
为了保持相差
13
首
,
增加一首五言绝句
,
也要增一首七言绝句
,
而字数相差增加
8.
因此五言绝句的首数要比假设增加
200
÷
8=25(
首
).
五言绝句有
23+25=48(
首
).
七言绝句有
10+25=35(
首
).
在写出
"
鸡兔同笼
"
公式的时候
,
我们假设都是兔
,
或者都是鸡
,
对于例
7,
例
9
和例
10
三个问题
,
当然也可以这样假设
.
现在来具体做一下
,
把列出的计算式子与
"
鸡兔同笼
"
公式对照一下
,
就会发现非常有趣的事
.
例
7,
假设都是
8
分邮票
,4
分邮票张数是
(680-8
×
40)
÷
(8+4)=30(
张
).
例
9,
假设都是兔
,
鸡的只数是
(100
×
4-28)
÷
(4+2)=62(
只
). 10,
假设都是五言绝句
,
七言绝句的首数是
(20
×
13+20)
÷
(28-20)=35(
首
).
首先
,
请读者先弄明白上面三个算式的由来
,
然后与
"
鸡兔同笼
"
公式比较
,
这三个算式只是有一处
"-"
成了
"+".
其奥妙何在呢
当你进入初中
,
有了负数的概念
,
并会列二元一次方程组
,
就会明白
,
从数学上说
,
这一讲前两节列举的所有例子都是同一件事
.
例
11
有一辆货车运输
2000
只玻璃瓶
,
运费按到达时完好的瓶子数目计算
,
每只
2
角
,
如有破损
,
破损瓶子不给运费
,
还要每只赔偿
1
元
.
结果得到运费
379.6
元
,
问这次搬运中玻璃瓶破损了几只
解
:
如果没有破损
,
运费应是
400
元
.
但破损一只要减少
1+0.2=1.2(
元
).
因此破损只数是
(400-379.6)
÷
(1+0.2)=17(
只
).
答
:
这次搬运中破损了
17
只玻璃瓶
.
请你想一想
,
这是
"
鸡兔同笼
"
同一类型的问题吗？
作者:
冷眼以对
时间:
2010-1-26 14:56
标题:
鸡兔同笼（八）
例
12
有两次自然测验
,
第一次
24
道题
,
答对
1
题得
5
分
,
答错
(
包含不答
)1
题倒扣
1
分
;
第二次
15
道题
,
答对
1
题
8
分
,
答错或不答
1
题倒扣
2
分
,
小明两次测验共答对
30
道题
,
但第一次测验得分比第二次测验得分多
10
分
,
问小明两次测验各得多少分
解一
:
如果小明第一次测验
24
题全对
,
得
5
×
24=120(
分
).
那么第二次只做对
30-24=6(
题
)
得分是
8
×
6-2
×
(15-6)=30(
分
).
两次相差
120-30=90(
分
).
比题目中条件相差
10
分
,
多了
80
分
.
说明假设的第一次答对题数多了
,
要减少
.
第一次答对减少一题
,
少得
5+1=6(
分
),
而第二次答对增加一题不但不倒扣
2
分
,
还可得
8
分
,
因此增加
8+2=10
分
.
两者两差数就可减少
6+10=16(
分
). (90-10)
÷
(6+10)=5(
题
).
因此
,
第一次答对题数要比假设
(
全对
)
减少
5
题
,
也就是第一次答对
19
题
,
第二次答对
30-19=11(
题
).
第一次得分
5
×
19-1
×
(24- 9)=90.
第二次得分
8
×
11-2
×
(15-11)=80.
答
:
第一次得
90
分
,
第二次得
80
分
.
解二
:
答对
30
题
,
也就是两次共答错
24+15-30=9(
题
).
第一次答错一题
,
要从满分中扣去
5+1=6(
分
),
第二次答错一题
,
要从满分中扣去
8+2=10(
分
).
答错题互换一下
,
两次得分要相差
6+10=16(
分
).
如果答错
9
题都是第一次
,
要从满分中扣去
6
×
9.
但两次满分都是
120
分
.
比题目中条件
"
第一次得分多
10
分
",
要少了
6
×
9+10.
因此
,
第二次答错题数是
(6
×
9+10)
÷
(6+10)=4(
题
)
·
第一次答错
9-4=5(
题
).
第一次得分
5
×
(24-5)-1
×
5=90(
分
).
第二次得分
8
×
(15-4)-2
×
4=80(
分
).
习题二
1.
买语文书
30
本
,
数学书
24
本共花
83.4
元
.
每本语文书比每本数学书贵
0.44
元
.
每本语文书和数学书的价格各是多少
2.
甲茶叶每千克
132
元
,
乙茶叶每千克
96
元
,
共买这两种茶叶
12
千克
.
甲茶叶所花的钱比乙茶叶所花钱少
354
元
.
问每种茶叶各买多少千克
3.
一辆卡车运矿石
,
晴天每天可运
16
次
,
雨天每天只能运
11
次
.
一连运了若干天
,
有晴天
,
也有雨天
.
其中雨天比晴天多
3
天
,
但运的次数却比晴天运的次数少
27
次
.
问一连运了多少天
4.
某次数学测验共
20
道题
,
做对一题得
5
分
,
做错一题倒扣
1
分
,
不做得
0
分
.
小华得了
76
分
.
问小华做对了几道题
5.
甲
,
乙二人射击
,
若命中
,
甲得
4
分
,
乙得
5
分
;
若不中
,
甲失
2
分
,
乙失
3
分
.
每人各射
10
发
,
共命中
14
发
.
结算分数时
,
甲比乙多
10
分
.
问甲
,
乙各中几发
6.
甲
,
乙两地相距
12
千米
.
小张从甲地到乙地
,
在停留半小时后
,
又从乙地返回甲地
,
小王从乙地到甲地
,
在甲地停留
40
分钟后
,
又从甲地返回乙地
.
已知两人同时分别从甲
,
乙两地出发
,
经过
4
小时后
,
他们在返回的途中相遇
.
如果小张速度比小王速度每小时多走
1.5
千米
,
求两人的速度
.
作者:
冷眼以对
时间:
2010-1-26 14:58
标题:
鸡兔同笼（九）
三
,
从
"
三
"
到
"
二
"
"
鸡
"
和
"
兔
"
是两种东西
,
实际上还有三种或者更多种东西的类似问题
.
在第一节例
5
和例
6
就都有三种东西
.
从这两个例子的解法
,
也可以看出
,
要把
"
三种
"
转化成
"
二种
"
来考虑
.
这一节要通过一些例题
,
告诉大家两类转化的方法
.
例
13
学校组织新年游艺晚会
,
用于奖品的铅笔
,
圆珠笔和钢笔共
232
支
,
共花了
300
元
.
其中铅笔数量是圆珠笔的
4
倍
.
已知铅笔每支
0.60
元
,
圆珠笔每支
2.7
元
,
钢笔每支
6.3
元
.
问三种笔各有多少支
解
:
从条件
"
铅笔数量是圆珠笔的
4
倍
",
这两种笔可并成一种笔
,
四支铅笔和一支圆珠笔成一组
,
这一组的笔
,
每支价格算作
(0.60
×
4+2.7)
÷
5=1.02(
元
).
现在转化成价格为
1.02
和
6.3
两种笔
.
用
"
鸡兔同笼
"
公式可算出
,
钢笔支数是
(300-1.02
×
232)
÷
(6.3-1.02)=12(
支
).
铅笔和圆珠笔共
232-12=220(
支
).
其中圆珠笔
220
÷
(4+1)=44(
支
).
铅笔
220-44=176(
支
).
答
:
其中钢笔
12
支
,
圆珠笔
44
支
,
铅笔
176
支
.
例
14
商店出售大
,
中
,
小气球
,
大球每个
3
元
,
中球每个
1.5
元
,
小球每个
1
元
.
张老师用
120
元共买了
55
个球
,
其中买中球的钱与买小球的钱恰好一样多
.
问每种球各买几个
解
:
因为总钱数是整数
,
大
,
小球的价钱也都是整数
,
所以买中球的钱数是整数
,
而且还是
3
的整数倍
.
我们设想买中球
,
小球钱中各出
3
元
.
就可买
2
个中球
,3
个小球
.
因此
,
可以把这两种球看作一种
,
每个价钱是
(1.5
×
2+1
×
3)
÷
(2+3)=1.2(
元
).
从公式可算出
,
大球个数是
(120-1.2
×
55)
÷
(3-1.2)=30(
个
).
买中
,
小球钱数各是
(120-30
×
3)
÷
2=15(
元
).
可买
10
个中球
,15
个小球
.
答
:
买大球
30
个
,
中球
10
个
,
小球
15
个
.
例
13
是从两种东西的个数之间倍数关系
,
例
14
是从两种东西的总钱数之间相等关系
(
倍数关系也可用类似方法
),
把两种东西合井成一种考虑
,
实质上都是求两种东西的平均价
,
就把
"
三
"
转化成
"
二
"
了
.
作者:
cuijlmsm
时间:
2010-1-26 23:11
非常有趣，思维方式新颖，谢谢分享
作者:
cuijlmsm
时间:
2010-1-26 23:17
能几个并在一起就更好了。
作者:
qdylz
时间:
2010-1-27 08:46
标题:
回复 #1 冷眼以对 的帖子
你的解法很好，但是发帖的时候分发了几个不同的主题，这样大家看起来很不方便。
现在合并起来，你看是不是这样更好？
作者:
冷眼以对
时间:
2010-1-27 11:10
谢谢版主。我不是有意分开发，不知是什么原因，一起发怎么也发不上。所以，只能分开发。
继续发...
作者:
冷眼以对
时间:
2010-1-27 11:15
还是发不上，可能是单位的网络不好。回家再试发。
作者:
冷眼以对
时间:
2010-1-28 11:51
标题:
鸡兔同笼（十）
例15是为例16作准备.
例15 某人去时上坡速度为每小时走3千米,回来时下坡速度为每小时走6千米,求他的平均速度是多少
解:去和回来走的距离一样多.这是我们考虑问题的前提. 平均速度=所行距离÷所用时间 去时走1千米,要用20分钟;回来时走1千米,要用10分钟.来回共走2千米,用了30分钟,即半小时,平均速度是每小时走4千米. 千万注意,平均速度不是两个速度的平均值:每小时走(6+3)÷2=4.5千米.
例16 从甲地至乙地全长45千米,有上坡路,平路,下坡路.李强上坡速度是每小时3千米,平路上速度是每小时5千米,下坡速度是每小时6千米.从甲地到乙地,李强行走了10小时;从乙地到甲地,李强行走了11小时.问从甲地到乙地,各种路段分别是多少千米
解:把来回路程45×2=90(千米)算作全程.去时上坡,回来是下坡;去时下坡回来时上坡.把上坡和下坡合并成"一种"路程,根据例15,平均速度是每小时4千米.现在形成一个非常简单的"鸡兔同笼"问题.头数10+11=21,总脚数90,鸡,兔脚数分别是4和5.因此平路所用时间是 (90-4×21)÷(5-4)=6(小时). 单程平路行走时间是6÷2=3(小时). 从甲地至乙地,上坡和下坡用了10-3=7(小时)行走路程是 45-5×3=30(千米). 又是一个"鸡兔同笼"问题.从甲地至乙地,上坡行走的时间是 (6×7-30)÷(6-3)=4(小时). 行走路程是3×4=12(千米). 下坡行走的时间是7-4=3(小时).行走路程是6×3=18(千米). 答:从甲地至乙地,上坡12千米,平路15千米,下坡18千米.
做两次"鸡兔同笼"的解法,也可以叫"两重鸡兔同笼问题".例16是非常典型的例题.
例17 某种考试已举行了24次,共出了426题.每次出的题数,有25题,或者16题,或者20题.那么,其中考25题的有多少次?
解:如果每次都考16题,16×24=384,比426少42道题. 每次考25道题,就要多25-16=9(道). 每次考20道题,就要多20-16=4(道). 就有 9×考25题的次数+4×考20题的次数=42. 请注意,4和42都是偶数,9×考25题次数也必须是偶数,因此,考25题的次数是偶数,由9×6=54比42大,考25题的次数,只能是0,2,4这三个数.由于42不能被4整除,0和4都不合适.只能是考25题有2次(考20题有6次). 答:其中考25题有2次.
例18 有50位同学前往参观,乘电车前往每人1.2元,乘小巴前往每人4元,乘地下铁路前往每人6元.这些同学共用了车费110元,问其中乘小巴的同学有多少位
解:由于总钱数110元是整数,小巴和地铁票也都是整数,因此乘电车前往的人数一定是5的整数倍. 如果有30人乘电车, 110-1.2×30=74(元). 还余下50-30=20(人)都乘小巴钱也不够.说明假设的乘电车人数少了. 如果有40人乘电车 110-1.2×40=62(元). 还余下50-40=10(人)都乘地下铁路前往,钱还有多(62>6×10).说明假设的乘电车人数又多了.30至40之间,只有35是5的整数倍. 现在又可以转化成"鸡兔同笼"了: 总头数 50-35=15, 总脚数 110-1.2×35=68. 因此,乘小巴前往的人数是 (6×15-68)÷(6-4)=11. 答:乘小巴前往的同学有11位.
在"三"转化为"二"时,例13,例14,例16是一种类型.利用题目中数量比例关系,把两种东西合并组成一种.例17,例18是另一种类型.充分利用所求个数是整数,以及总量的限制,其中某一个数只能是几个数值.对几个数值逐一考虑是否符合题目的条件.确定了一个个数,也就变成"二"的问题了.在小学算术的范围内,学习这两种类型已足够了.更复杂的问题,只能借助中学的三元一次方程组等代数方法去求解.
作者:
冷眼以对
时间:
2010-1-28 12:41
标题:
鸡兔同笼（十一）
习题三
1.有100枚硬币,把其中2分硬币全换成等值的5分硬币,硬币总数变成79个,然后又把其中的1分硬币换成等值的5分硬币,硬币总数变成63个.求原有2分及5分硬币共值多少钱
2."京剧公演"共出售750张票得22200元.甲票每张60元,乙票每张30元,丙票每张18元.其中丙票张数是乙票张数的2倍.问其中甲票有多少张
3.小明参加数学竞赛,共做20题得67分.已知做一题得5分,不答得2分,做错一题倒扣3分.又知道他做错的题和没答的题一样多.问小明共做对几题
4.1分,2分和5分硬币共100枚,价值2元,如果其中2分硬币的价值比1分硬币的价值多13分.问三种硬币各多少枚 注:此题没有学过分数运算的同学可以不做.
5.甲地与乙地相距24千米.某人从甲地到乙地往返行走.上坡速度每小时4千米,走平路速度每小时5千米,下坡速度每小时6千米.去时行走了4小时50分,回来时用了5小时.问从甲地到乙地,上坡,平路,下坡各多少千米
6.某学校有12间宿舍,住着80个学生.宿舍的大小有三种:大的住8个学生,不大不小的住7个学生,小的住5人.其中不大不小的宿舍最多,问这样的宿舍有几间
测验题
1.松鼠妈妈采松籽,晴天每天可以采20个,雨天每天只能采12个. 它一连几天采了112个松籽,平均每天采14个. 问这几天当中有几天有雨
2.有一水池,只打开甲水龙头要24分钟注满水池,只打开乙水龙头要36分钟才注满水池.现在先打开甲水龙头几分钟,然后关掉甲,打开乙水龙头把水池注满.已知乙水龙头比甲水龙头多开26分钟.问注满水池总共用了多少分钟
3.某工程甲队独做50天可以完成,乙队独做75天可以完成.现在两队合做,但是中途乙队因另有任务调离了若干天.从开工后40天才把这项工程做完.问乙队中途离开了多少天
4.小华从家到学校,步行一段路后就跑步.他步行速度是每分钟600 ,跑步速度是每分钟140米.虽然步行时间比跑步时间多4分钟,但步行的距离却比跑步的距离少400米.问从家到学校多远
5.有16位教授,有人带1个研究生,有人带2个研究生,也有人带3个研究生.他们共带了27位研究生.其中带1个研究生的教授人数与带2,3个研究生的教授人数一样多.问带2个研究生的教授有几人
6.某商场为招揽顾客举办购物抽奖.奖金有三种:一等奖1000元,二等奖250元,三等奖50元.共有100人中奖,奖金总额为9500元.问二等奖有多少名
7.有一堆硬币,面值为1分,2分,5分三种,其中1分硬币个数是2分硬币个数的11倍.已知这堆硬币面值总和是1元,问5分的硬币有多少个
第三讲 答案
习题一
1.龟75只,鹤25只.
2.象棋9副,跳棋17副.
3.2分硬币92个,5分硬币23个. 应将总钱数2.99元分成2×4+5=13(份),其中2分钱数占2×4=8(份),5分钱数占5份.
4.2元与5元各20张,10元有10张. 2元与5元的张数之和是 (10×50-240)÷[10-(2+5)÷2]=40(张).
5.甲先做了4天. 提示:把这件工程设为36份,甲每天做3份,乙每天做2份.
6.第一种路段有14段,第二种路段有11段. 第一种路段全长13千米,第二种路段全长9千米,全赛程281千米,共25段,是标准的"鸡兔同笼".
7.最多可买1角邮票6张. 假设都买4分邮票,共用4×15=60(分),就多余100-60=40(分).买一张1角邮票,可以认为40分换1角,要多6分.40÷6=6……4,最多买6张.最后多余4分,加在一张4分邮票上,恰好买一张8分邮票.
习题二
1.语文书1.74元,数学书1.30元. 设想语文书每本便宜0.44元,因此数学书的单价是 (83.4-0.44×30)÷(30+24).
2.买甲茶3.5千克,乙茶8.5千克. 甲茶数=(96×12-354)÷(132+96)=3.5(千克)
3.一连运了27天. 晴天数=(11×3+27)÷(16-11)=12(天)
4.小华做对了16题. 76分比满分100分少24分.做错一题少6分,不做少5分.24分只能是6×4.
5.甲中8发,乙中6发. 假设甲中10发,乙就中14-10=4(发).甲得4×10=40(分),乙得5×4-3×6= 2(分).比题目条件"甲比乙多10分"相差(40-2)-10=28(分),甲少中1发,少4+2=6(分),乙可增5+3=8(分). 28÷(6+8)=2. 甲中10-2=8(发).
鸡兔同笼的公式：解法1：（兔的脚数×总只数－总脚数）÷（兔的脚数－鸡的脚数）=鸡的只数 总只数－鸡的只数=兔的只数解法2：（ 总脚数－鸡的脚数×总只数）÷（兔的脚数－鸡的脚数） =兔的只数总只数－兔的只数=鸡的只数解法3：总脚数÷2—总头数=兔的只数总只数—兔的只数=鸡的只数
作者:
冷眼以对
时间:
2010-1-28 12:42
估计搞明白了这些，小学部分的鸡兔同笼就没问题了。
作者:
sxsxlq
时间:
2010-3-4 10:15
好东东，讲得非常精彩哦。。。。。
作者:
qdylz
时间:
2011-2-28 22:46
顶起来让大家欣赏
作者:
davidzsguo
时间:
2011-3-6 21:21
谢谢分享，挺有意思的啊。
作者:
lulu9102003
时间:
2011-3-7 12:13
谢谢分享，很精彩，需要慢慢学习
作者:
luckyreddouding
时间:
2011-3-14 00:49
谢谢分享，需要慢慢学习
作者:
mydream
时间:
2011-3-21 11:35
很精彩，新颖。
作者:
oye妈妈
时间:
2011-3-21 22:48
把复制下来，打印出来了， 准备认真地研究一下。
作者:
逗逗1123
时间:
2011-3-22 11:13
不看不知道，一看真奇妙，复制打印了，谢谢楼主
作者:
漂亮的小汽车
时间:
2011-3-22 18:42
谢谢楼主归纳，辛苦了。
作者:
穆小柔
时间:
2011-3-22 22:10
学习了，原来这些也都属鸡兔同笼的问题。
作者:
bucy
时间:
2011-4-6 10:15
标题:
回复 #17 冷眼以对 的帖子
虽然没有细看也要先顶一顶。最喜欢归纳总结性的解决一类问题，用各种方法。
作者:
菊菊妈妈
时间:
2011-4-6 14:49
很精彩，学习了，谢谢分享。
作者:
虎口遐想
时间:
2011-4-12 21:41
很有意思，好好学习了
欢迎光临 祝孩子们天天健康快乐！ (http://www.xetjy.com/)
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