祝孩子们天天健康快乐！

标题: 2009年7月10至22日在德国的不莱梅进行的第50届国际数学奥林匹克竞赛 [打印本页]

作者: 小小小鲸鱼 时间: 2009-7-26 10:46
标题: 2009年7月10至22日在德国的不莱梅进行的第50届国际数学奥林匹克竞赛
论坛里的高手看看。。。。

第50届IMO试题

第一天
1. n 是一个正整数，设 a[1],a[2],...,a[k] (k≥2) 是 k 个不同的属于 {1,2,...,n} 的正整数，满足 n 整除 a(a[i+1]-1) 对任意 i=1,2,...,k-1 成立。
证明：n 不整除 a[k](a[1]-1)。
2. 设三角形 ABC 的外心为 O 。点 P,Q 分别是线段 CA,AB 上的点。设 K,L,M 分别是线段 BP,CQ,PQ 的中点。
如果直线 PQ 与三角形 KLM 的外接圆相切，证明 OP=OQ 。
3. 设 s[1],s[2],s[3],...... 是一个严格单调递增的正整数数列，满足其子数列 s[s[1]],s[s[2]],s[s[3]],...... 和 s[s[1]+1],s[s[2]+1],s[s[3]+1],...... 都是等差数列。
证明数列s[1],s[2],s[3],......也是一个等差数列。

第二天
4. 在三角形 ABC 中， AB=AC ， ∠CAB 和 ∠CBA 的角平分线分别交 BC,AC 于点 D,E 。
设 K 是三角形 ACD 的内心， ∠BEK=45° ，求 ∠BAC 。
5. 求所有正整数集到正整数集的映射 f ，满足对任意正整数 a,b ，
存在一个非退化的三角形其三边长为 a,f(b),f(b+f(a)-1) 。
6. 设 a[1],...,a[n] 是 n 个互不相同的正整数， M 是一个不包含 s=a[1]+a[2]+...+a[n] 的 n-1 元正整数集。
一只蚱蜢在实轴上跳跃，它从 0 点开始，向右跳跃 n 次，其长度为 a[1],a[2],...,a[n] 的一个排列。
证明：存在一种跳法，使得蚱蜢不落在任何一个 M 中的点上。

总分前20名如下：
1、中国国家队221分，6金；
2、日本代表队212分，5金1铜；
3、俄罗斯代表队203分，5金1银；
4、韩国代表队188分，3金3银；
5、朝鲜代表队183分，3金2银1铜；
6、美国代表队183分，2金4银；
7、泰国代表队181分，1金5银；
8、土耳其代表队177分，2金4银；
9、德国代表队171分，1金4银1铜；
10、白俄罗斯代表队167分，1金4银1铜；
11、中国台湾代表队165分，1金5银；
11、意大利代表队165分，2金2银2铜；
13、罗马尼亚代表队163分，2金2银2铜；
14、乌克兰代表队162分，3金1银2铜；
15、越南代表队161分，2金2银2铜；
15、伊朗代表队161分，1金4银1铜；
17、巴西代表队160分，1金3银2铜；
18、加拿大代表队158分，1金3银2铜；
19、英国代表队157分，1金3银2铜；
19、保加利亚代表队157分，1金3银2铜；
19、匈牙利代表队157分，1金2银3铜。

作者: 小小小鲸鱼 时间: 2009-7-26 10:49
中国国家队各队员分数一览
（8个数据依次为六道题目得分，总得分，全体参赛选手排名）
韦东奕7－7－7－7－7－7－42－1金牌（山东师大附中）
郑凡7－7－7－7－7－0－35－14金牌（上海中学）
黄骄阳7－7－7－7－7－1－36－12金牌（四川成都七中）
郑志伟7－7－7－7－7－0－35－14金牌（浙江乐清乐成公立寄宿学校）
赵彦霖7－7－7－7－7－3－38－8金牌（吉林长春东北师大附中）
林博7－7－7－7－7－0－35－14金牌（北京人大附中）
总分以221分名列各参赛代表队第一名

作者: bucy 时间: 2009-7-26 16:57
标题: 回复 #2 小小小鲸鱼的帖子
这种比赛还拿满分，是不是太。。。？

作者: yzrsdzlmm 时间: 2009-7-26 20:26
一声叹息，未来的诺贝尔奖会从中诞生吗

作者: bucy 时间: 2009-7-26 23:00
诺贝尔奖中没有数学的奖项。数学界最高奖是菲尔茨奖。

作者: phoenix 时间: 2009-7-29 08:14
这种比赛拿满分怎么了，我觉得挺好的，不得诺贝尔就不优秀了吗？这些获了奖的都是书呆子吗？
如果非要说他们是高分低能的，我到情愿我家孩子是其中的一个。

作者: jiangying 时间: 2009-7-29 09:23
各位，请注意一个幕后的事实，这个孩子据说从来没有上过奥数兴趣班（估计集训班上过）
黄骄阳7－7－7－7－7－1－36－12金牌（四川成都七中）

作者: bucy 时间: 2009-7-29 13:36
这些题目，光靠题海战术是怎么也做不出来的。

作者: jiangying 时间: 2009-7-29 14:11
严重同意bucy同学在各楼的发言和评分

作者: qdylz 时间: 2009-7-31 09:54
请论坛高手做出答案，就作为第四期、第五期擂台赛中学及成人组的题目了，请大家积极参与！

作者: 人生有几何 时间: 2009-8-3 13:27
4、在三角形 ABC 中， AB=AC ， ∠CAB 和 ∠CBA 的角平分线分别交 BC,AC 于点 D,E 。
设 K 是三角形 ACD 的内心， ∠BEK=45° ，求 ∠BAC 。

∠BAC =60°，是个正三角形。

作者: 人生有几何 时间: 2009-8-4 11:39
标题: 第4题重新计算
设AD交BE于P，∠CBA =∠BCA =x，那么，∠CAB=180°-2x

在三角形ECK中，∠ECK=x/2，∠CEK=∠CEB-∠BEK=（180-x/2-x）-45=135-3x/2，
∠CKE=180-∠ECK-∠CEK=180-x/2-135+3x/2=45+x

在三角形DCK中，∠DCK=x/2，∠CDK=45，所以∠DKC=180-45-x/2=135-x/2

在四边形PDKE中，∠DKE=360-（∠CKE+∠DKC）=360-（45+x+135-x/2）=180-x/2

∠DPE=360-∠ADK-∠DKE-∠BEK=360-45-45-180+x/2=90+x/2

在三角形APB中，∠APB=∠DPE=90+x/2

∠APB=180-∠ABP-∠BAP=180-x/2-1/2*∠CAB=180-x/2-1/2*（180-2x）=180-x/2-90+x=90+x/2

怎么解出了恒等式，是不是∠CAB为任意值，∠BEK永远等于45°？？？

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