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标题: 小学五六年级[守擂]－－数字问题 [打印本页]

作者: qdylz 时间: 2009-7-21 10:07
标题: 小学五六年级[守擂]－－数字问题
在1，2，3，4，…，100这100个自然数中任取两个不同的数，使得取出的两数之和是6的倍数，则有多少种不同的取法？

作者: jymm222 时间: 2009-7-21 13:10
这题，知道怎样的两数之和是6的倍数，但对求多少种不同的取法还没有方法。我让孩子再想想，虽然攻不下，但参与一下。

是引导孩子，给孩子讲解？还是等孩子能自己想明白？等可能等一两年哦

作者: yuanbao1101 时间: 2009-7-21 15:47
好难，试一下吧

作者: happy_99 时间: 2009-7-22 09:18
昨天晚上孩子给出的答案是3333，但当我问为什么，他才给我讲了一两句就说自己弄错了，今天再听他的答案吧。

作者: happy_99 时间: 2009-7-23 22:02
今天给出的答案是2616，问他为什么，他说先把答案放上来再说。

任意取两个数相加，能得的最大数是199；
从1到199，有33个6的倍数；
从6开始试，有两种加法，1+5和2+4；
12有5种加法：1+11，2+10，3+9，4+8，5+7；
从6到96，加法的种数总是这个数除以2再减1，即（N/2）-1；
所以，从6到96的加法有[（6+12+18+……+96）/2]-16＝392；
对于102及其以后6的倍数，不单单是（102/2）+（102/2）不成立，因为没有两个51；
还有1+101不能成立，因为没有101；
所以，从102到198……
算到这晨，小家伙发现自己想错了，后面这17个数找不到规律了，时间也到他该睡的时候了，明天再让他算吧。

作者: qdylz 时间: 2009-7-24 08:23
标题: 回复 #5 happy_99 的帖子
我开始的时候也算了100以内的6的倍数，每个数取法等于（N/2）-1，合计392。这在100以内的计算应该是没有问题的，因为对于自然数来说，和在100以内，两个加数必然也在100以内。对于大于100的数，就不能用这个（N/2）-1来算了。

小家伙能做到这里已经不错了，再继续想想，快要成功了，加油！

作者: happy_99 时间: 2009-7-24 09:04
昨天晚上其实已经把后面的规律找出来了，只是他自己一算一算又觉得搞错了，刚好时间到了，就没再做了，不过，等他爬到床上没两分钟，就高喊着做出来了，但不肯告诉我是怎么做的，今天早上说了。

首先，昨天晚上找的规律没错：

101以后的数，规律应该是：（N/2）-（N-100），计算下来就应该是[（102/2）+（108/2）+……+（192/2）+（198/2）]-[（102-100）+（108-100）+……+（198-100）]，结果应该是25*17=425，再加上101以内的392种加法，本题答案是：

817

作者: happy_99 时间: 2009-7-24 09:05
我一直是以100为分界线的，但小家伙一再给我强调应该是以101为分界点，讲了半天，我也没明白，他都快急哭了，现在我也还是没明白

作者: qdylz 时间: 2009-7-24 09:25
标题: 回复 #8 happy_99 的帖子
是以101为分界的。100以内的数都可以作为加数，101以上的只能作为和。

我的方法和小家伙差不多。

6-96这16个数，
6有两种加法，即1+5和2+4，取法记为2；
12有5种，
18有8种，
.......
96有47种。
2+5+8+......41+44+47＝392。

102－198这17个数，

我先算198，只有一种取法，100+98；
192有4种，100+92、99+93、98+94、97+95；
186有7种；
.......
102有49种。
合计1+4+7+......+43+46+49＝25×17＝425

总计392+425＝817。

作者: qdylz 时间: 2009-7-24 09:27
标题: 题目原附答案
有817种不同的取法.
　　将这100个数分成六类，一类是被6除余1，有17个；二是被6除余2，有17个；三是被6除余3，有17个，四是被6除余4，有17个，五是被6除余5，有16个，六是被6整除，有16个.被6除余1与被6除余5的两数之和能被6整
　　除，共有17×16种不同的取法；同样被6除余2与被6除余4的两数之和能被6整除，共有17×17种不同的取法；再有被6除余3的数，它们中任意两数之和能被6整除，共有17×16÷2种不同的取法；同理被6整除的数，它们中任意两个数之和也能被6整除，共有16×15÷2种不同的取法.所以这100个数任取两个不同的数，使得其和是6的倍数的不同取法共有：
　　17×16+17×17+17×16÷2+16×15÷2=817（种）.

作者: qdylz 时间: 2009-7-24 09:44
标题: 回复 #9 qdylz 的帖子
还有一种算法：

把198单独拿出来，这样6-96是16个数，102-192也是16个数。

（2+5+8+......41+44+47）+（4+7+10+......+43+46+49）+1
＝[（2+4）+(5+7)+(8+10)+......+(41+43)+(44+46)+(47+49)]+1
=(6+12+18+......+84+90+96)+1
=816+1
=817

这题算法没有什么特别之处，关键是100以内的6的倍数共16个数，这16个数之和再加上1就是题目答案，数字很巧。
这难道不是数学之美吗？

[ 本帖最后由 qdylz 于 2009-7-24 10:00 编辑 ]

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