祝孩子们天天健康快乐！

标题: 成年组[守擂]——高数/数学分析习题 [打印本页]

作者: bucy 时间: 2009-6-20 17:34
标题: 成年组[守擂]——高数/数学分析习题
n为自然数，f(x)在[0，n]上为连续函数，且f(0)=f(n).试证明至少存在n对不同的u,v∈[0,n](u<v),使得f(u)=f(v),且v-u为整数.

作者: jiangying 时间: 2009-6-21 17:38
好久没做数学分析证明题了,不会做了

作者: bucy 时间: 2009-6-21 18:00
标题: 回复 #2 jiangying 的帖子
这道题是我当年复习时碰到的。之所以拿出来，是妙在这道题出现在讲导数的内容之前。虽然可以用后面的积分定理证明，但无疑出题者是考察学生的初等数学的能力。这有点象如今的有些小学生的题目，用后面学的知识容易做，但用小学生学的知识做却不容易一样。

作者: lingling0921 时间: 2009-6-23 15:42
我现在看高数的题目,晕晕,,,,,怕怕,,,,,呵,,,,,

作者: bucy 时间: 2009-6-23 20:12
标题: 回复 #4 lingling0921 的帖子
如果中学生（高中生）把“连续函数”理解成没有断点的函数（虽然不严格），这道题也是可以做出来的。

作者: bucy 时间: 2009-6-23 20:20
再多说一句，虽然这道题可以用中学的知识做出来（不纠缠连续的概念），但话说回来，能那样做出来的人“数学能力”确实是不一般的（不是说我，我当时没做出来），而且是数学基本功比较扎实的那种人爱用那样的方法（暂时保密）。

作者: 小米爸爸 时间: 2009-6-23 22:01
本题作图一看就知是什么回事了，但表达上感觉有点麻烦。

作者: 小米爸爸 时间: 2009-6-23 22:32
花了10多分钟，用图做不出，泄气，作图只对特殊情况成立，数学归纳法可解决本问题。

经验证，数学归纳法的确可证本题，
n=0不用说了

如果假设n=k时成立，则有f(0)=f(k)条件下有至少K对满足 V-U是整数了

则n=k+1时，条件是f(0)=f(k+1)，而f(0)=f(k)（上面假设），故f（k+1）跟f(0)或f(k)起码构成一对，故至少k+1对了。证明完成

数学符号打起来特烦，过程写得不是很清楚严格，飘过，我不守擂也不攻擂，孩子还没到学奥数的年龄，怕了，快跑，保命为先，继续修行去。

还是建议简单点，让大家都参与吧。

[ 本帖最后由小米爸爸于 2009-6-24 01:00 编辑 ]

作者: zhf_liu77 时间: 2009-6-23 22:57
太难了，想了半天还是没作出来。放弃

作者: bucy 时间: 2009-6-24 00:44
这种证法是有问题的哟。
N=K+1,不一定有f(0)=f(K)=f(k+1)哟。
你这种是特殊的情况，f(x)=C一条平行与X轴的直线。

[ 本帖最后由小米爸爸于 2009-6-24 09:51 编辑 ]

作者: bucy 时间: 2009-6-24 00:47
的确是很难，数学系的人也不一定做得出来。
不过当我看到证明方法时，才发现从这个角度其实也可以认为是简单的，至少用的都是初等数学里的方法。

原帖由 zhf_liu77 于 2009-6-23 22:57 发表
太难了，想了半天还是没作出来。放弃

作者: 小米爸爸 时间: 2009-6-24 07:52

原帖由 bucy 于 2009-6-24 02:44 发表
这种证法是有问题的哟。
N=K+1,不一定有f(0)=f(K)=f(k+1)哟。
你这种是特殊的情况，f(x)=C一条平行与X轴的直线。

，看来还是不趟这个浑水为上, 说真的解题解够了，也没多少意义，其实你说的特殊情况我在7楼进就想到了，这个数学归纳法的证明过程我偷懒了一下，很讨厌。还有感觉你有点将连续函数与单调函数弄混了，也许你是故意这样来作弄我吧。

最后问你个问题，你是如何知道我是数学系出来的？我好象不认识你啊。

一不小心，还错编辑了你的贴子，看来当版主也不是好事。

[ 本帖最后由小米爸爸于 2009-6-24 10:27 编辑 ]

作者: qdylz 时间: 2009-6-24 12:56
标题: 回复 #12 小米爸爸的帖子
哈哈，bucy一语言中，我也是才知道。

放下太久了，难怪。

作者: bucy 时间: 2009-6-24 13:40
我没搞混，不过如果把连续函数理解成没有断点的函数确实不对。但我是想让中学的孩子也参与进来（如果不考虑特殊情况的话）
好啦，贴出连续函数的定义：
Limf(x)=f(x0)
x-x0

中文定义就是函数在X趋向于x0时的极限等于X＝x0时的函数值。

另外，你是坛上名人，我怎么会不认识你？

原帖由 小米爸爸 于 2009-6-24 07:52 发表

，看来还是不趟这个浑水为上, 说真的解题解够了，也没多少意义，其实你说的特殊情况我在7楼进就想到了，这个数学归纳法的证明过程我偷懒了一下，很讨厌。还有感觉你有点将连续函数与单调函数弄混了， ...

作者: bucy 时间: 2009-6-24 13:46
刚才小米爸爸不是说做出来了吗？怎么又删贴了，呵呵。

作者: qqyou 时间: 2009-6-24 15:21
我说一下这个题的思路吧，好久不弄数学，那些基本定义和符号系统都不熟悉了

1、F(x)是连续函数，所以他的反函数G(y)也是连续函数，且值域是[0,n]
2、F(0)=F(n)决定了 u,v∈[0,n](u<v),使得f(u)=f(v)的存在
3、u-v=G(a)-G(b)
4、根据连续函数定义，G(a)-G(b)这个函数是连续的，且值域也是[0，n],所以至少有n个整数可以满足条件

作者: qdylz 时间: 2009-6-24 16:03
标题: 回复 #18 jymm222 的帖子
我怎么没有看懂呢？

“在0~k1这范围的曲线，v-u有1~k1总共k1个整数值，”为什么？

作者: 小米爸爸 时间: 2009-6-24 17:10
本来给你加分了，但回家路上一想，觉得你的方法有根本性的错误。将加分给撤了。你忘了一点.

原帖由 qqyou 于 2009-6-24 17:21 发表
我说一下这个题的思路吧，好久不弄数学，那些基本定义和符号系统都不熟悉了

我说一下这个题的思路吧，好久不弄数学，那些基本定义和符号系统都不熟悉了

1、F(x)是连续函数，所以他的反函数G(y)也是连续函数，且值域是[0,n]
2、F(0)=F(n)决定了 u,v∈[0,n](u<v),使得f(u)=f(v)的存在
3、u-v=G(a)-G(b)
4、根据连续函数定义，G(a)-G(b)这个函数是连续的，且值域也是[0，n],所以至少有n个整数可以满足条件

作者: 小米爸爸 时间: 2009-6-24 19:47

n为自然数，f(x)在[0，n]上为连续函数，且f(0)=f(n).试证明至少存在n对不同的u,v∈[0,n](u<v),使得f(u)=f(v),且v-u为整数.

QQ的问题是，他用了反函数来证明。而原题的函数恰恰满足一个条件就是f(0)=f(n)也就是说当
x1=0, x2=n时 f(x1)=f(x2),那么原函数就存在着两个X对应于同一个函数值Y。

而一个函数存在反函数的充要条件是，自变量（X）与函数值（y）的关系是一一对应，也就是x与yj是一对一的关系，而本题的条件是二对一的关系，所以本题的函数的反函数是不存在的，当反函数不存在的情况下你再用反函数来证明，那就是错的。

不过大米很佩服你思维的活跃性与灵活性。

其实本题可以用介值定理，加数学归纳法来证明，但作为一个老师来说，这样处理是个失败，所以我跳过不说了，

作者: 长用户 时间: 2009-6-24 21:07
证明:
至少存在u=0, v=n u,v∈[0,n](u<v),
使得f(u)=f(0), f(v)=f(n), 且v-u为整数.

作者: 长用户 时间: 2009-6-24 21:10

原帖由 qqyou 于 2009-6-24 15:21 发表
我说一下这个题的思路吧，好久不弄数学，那些基本定义和符号系统都不熟悉了

1、F(x)是连续函数，所以他的反函数G(y)也是连续函数，且值域是[0,n]
2、F(0)=F(n)决定了 u,v∈[0,n](u

F(x)是连续函数，仅连续函数未必有反函数. 所以他的反函数G(y) ?

作者: qqyou 时间: 2009-6-25 00:12

原帖由 小米爸爸 于 2009-6-24 19:47 发表

QQ的问题是，他用了反函数来证明。而原题的函数恰恰满足一个条件就是f(0)=f(n)也就是说当
x1=0, x2=n时 f(x1)=f(x2),那么原函数就存在着两个X对应于同一个函数值Y。

而一个函数存在反函数的充要 ...

你说得很对，我错了，让我再想想

我一直觉得从值域入手会最简单一些，哈

平行于X轴，对函数做平行线，除顶底点外，会相交至少两点，能否证明两个交点差形成的函数U-V是连续的呢？大概不是吧。看来需要换一个思路了。

[ 本帖最后由 qqyou 于 2009-6-25 00:21 编辑 ]

作者: qdylz 时间: 2009-6-25 10:53
感觉已经证明了，可能楼主还有其他方法，等楼主过来确认。

作者: bucy 时间: 2009-6-26 00:57
qdylz发话了：擂主在阶段结束时应当适当小结一下，比如攻擂的做法对不对，如果不对，是否继续攻擂，还是直接公布答案、宣布活动结束等等。

在小结之前，我先转贴一位中学数学老师的贴子，很有借鉴作用。

归纳的几种中学数学解题方法^o^

NO.1　配方法
配方法：所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。通过配方解决数学问题的方法叫配方法。其中，用的最多的是配成完全平方式。配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它。
NO.2　因式分解法
因式分解法：因式分解，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。因式分解是恒等变形的基础，它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角函数等的解题中起着重要的作用。因式分解的方法有许多，除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外，还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。
NO.3　换元法
换元法：换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。
NO.4　判别式法与韦达定理
判别式法与韦达定理：一元二次方程ax2+bx+c=0(a、b、c∈R，a≠0)根的判别式△=b2-4ac，不仅用来判定根的性质，而且作为一种解题方法，在代数式变形，解方程(组)，解不等式，研究函数乃至解析几何、三角函数运算中都有非常广泛的应用。
韦达定理除了已知一元二次方程的一个根，求另一根；已知两个数的和与积，求这两个数等简单应用外，还可以求根的对称函数，计论二次方程根的符号，解对称方程组，以及解一些有关二次曲线的问题等，都有非常广泛的应用。
NO.5　待定系数法
待定系数法：在解数学问题时，若先判断所求的结果具有某种确定的形式，其中含有某些待定的系数，而后根据题设条件列出关于待定系数的等式，最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系，从而解答数学问题，这种解题方法称为待定系数法。它是中学数学中常用的重要方法之一。
NO.6　构造法
构造法：在解题时，我们常常会采用这样的方法，通过对条件和结论的分析，构造辅助元素，它可以是一个图形、一个方程(组)、一个等式、一个函数、一个等价命题等，架起一座连接条件和结论的桥梁，从而使问题得以解决，这种解题的数学方法，我们称为构造法。运用构造法解题，可以使代数、三角、几何等各种数学知识互相渗透，有利于问题的解决。

作者: bucy 时间: 2009-6-26 01:32
标题: 小结一下
我本来是没有什么资质可以在几位专家面前班门弄斧的。但是我始终是擂主，就献丑了。

其实各位能在这么多年不学数学的情况下把这道题弄成这样还是难能可贵的！至少各位想到了一些思路，比如周期延拓，介值定理，数学归纳法等等。而且有些思路已经接近正确的证法了，不过各位没有用到一个很重要的工具（象我前面说的，能熟练用这种工具的人，数学能力起码比一般人高一个档次），这个工具上面那个数学老师也总结了，就是所谓的“构造法"——它可以是一个图形、一个方程(组)、一个等式、一个函数、一个等价命题等。
   另外针对各位的证法，我还要从复旦大学编的《数学分析》里摘录一句原话送给各位：大多数性质从直观上看是相当明显的，但在数学上却必须一个个加以严格的论证，而不能仅以直观来代替。

   从头分析一下这道题，题干只有3个信息，f(x)是连续函数，定义域是闭区间，两端的函数值相等。我们知道，数学的题干是没有废话的，每一个信息对题目的解答既不会多也不会少。换句话说，我们要证出来，必须把题干的信息都用到。
先看前2个信息，那我们应该想到闭区间上连续函数的性质，这里面有用的有“零点存在定理”或“介值定理”。
虽然知道肯定要用到这些性质，但这个题目直接去用或者画图很难用得上。所以需要构造法了！这种手法冒似技巧，在我看来却是数学的基本功，和一般“奥数”的思维技巧不是一回事。所以我对于孩子数学培养的观点始终是：在学习纯粹的思维技巧之前，更应该花大力气掌握扎实的数学基本功。

   先小结到这儿，各位加油，胜利在望！

作者: jymm222 时间: 2009-6-26 08:06

原帖由 bucy 于 2009-6-26 00:57 发表
qdylz发话了：擂主在阶段结束时应当适当小结一下，比如攻擂的做法对不对，如果不对，是否继续攻擂，还是直接公布答案、宣布活动结束等等。

在小结之前，我先转贴一位中学数学老师的贴子，很有借鉴作用。

...

我建议如果这期不能攻擂成功，转入下一期，别太早直接公布答案、宣布活动结束。喜欢这种看起来无计可施，做出来简捷的题目。

中小学很长一段时间对数学有兴趣，但当时资源严重缺乏，虽然喜欢，也没有什么突破

。大学后，没认真学习过（现在想来是非常后悔的）。所以，基础也不好，悟性也不好

。介值定理是什么意思，已经毫无概念。

我现在就去搜索学习一下。

作者: qdylz 时间: 2009-6-26 08:21
标题: 回复 #26 jymm222 的帖子
强烈建议别删帖，要是你最后证明出来了，这些过程中的手稿也会价值非凡。

作者: bucy 时间: 2009-6-26 09:35
标题: 回复 #29 jymm222 的帖子
曲线、图形是帮助我们思考的，本身和解决问题并无矛盾，但是要注意光靠图形能否走得通，一条路不一定走得通。
我看见的两个成功的证法一个是构造函数，一个是构造命题或两者结合。

作者: bucy 时间: 2009-6-26 09:43
标题: jymm222别总删贴啊
你的思路很可贵的，真的！

作者: qdylz 时间: 2009-6-26 14:49
擂主提示了介值定理，以前小米爸爸也提示过（不愧为数学系的），找来看看，或许找到灵感了。

介值定理

　　定理：设函数y=f(x)在闭区间[a,b]上连续，则在这区间必有最大最小函数值：f(min)=A,f(max)=B,且A≠B 。那么，不论C是A与B之间的怎样一个数，在开区间(a,b)内至少有一点ξ，使得 f(ξ)=C (a<ξ<b)。

　　特别是，如果f(a)与f(b)异号，那么在开区间（a,b）内至少有一点ξ，使得f(ξ)=0 (a<ξ<b)---零值定理。

　　几何意义：在[a,b]上连续的曲线与水平直线y=C(A<C<B)至少相交于一点。

　　特别是，如果A与B异号，则连续曲线与x轴至少相交一次。

　　“介值定理”是闭区间上连续函数的性质之一。

写个思路吧：

1、假设x＝p时有最小值f(min)=A，x＝q时有最大值(max)=B，则p、q将f(x)分割成三段单调函数f1(x)、f2(x)、f3(x)。根据介值定理，可以证明对于任何〔0，p〕区间内的f1(x)，对于任何〔q，n〕区间内的f3(x)，都可以找到对应的f2(x)。证明f(u)=f(v)。
2、重新构建一个函数G(x)，G(x)＝x2-x1〔f1(x)=f2(x)〕，它在〔0，n〕上为连续函数，在〔0，m〕上最小值为0，最大值为m；在〔m，n〕有最小值0，最大值n－m。利用介值定理，x2-x1有n个整数。

f(x).bmp (172.18 KB, 下载次数: 0)

作者: jymm222 时间: 2009-6-26 16:23
标题: 回复 #30 bucy 的帖子
我觉得我精神说得上有点可贵

,思路没什么用,只是平移复制,大家看也看过了,删了也没事.

回复 #31 qdylz 的帖子
那位shanlon 怎么不大出现了,觉得Ta会有些思路,你们几位联合起来,应该会胜利在望

作者: qdylz 时间: 2009-6-26 16:42
标题: 回复 #32 jymm222 的帖子
评分分数: 威望 +2 / 金钱 +2
操作理由: 如果图形都在y=f(0)的同侧呢

如果那样，应该更简单。假设在形式为图中〔0，m〕段表示的那样，最大值为f(0)，最小值为A。G(x)＝v－u的值域为〔0，n〕，且为连续函数，因此必有n个整数。

作者: jymm222 时间: 2009-6-27 08:58
把前面的想法整理一下,你们说的对,思路过程应该保留,可以反思和对比.

由于求证的是一个相对距离,所以坐标定在哪里无关紧要.原点坐标定在f(0)处.

这条连续的曲线和x轴的交点至少为2个,这样,由曲线和x轴组成多个封闭的图形.平移复制后,有没有交点,和每个分割图形的形状无关,和与x轴的交点位置的关系有关.因此图形可以简化为第二个图.

每个封闭图形平移复制后,与原图至少有一个交点.符合题目要求的个数,为(x1取整)+(x2-x1取整)+(x3-x2取整)+...........,不大于n个(甚至可能为0).

其余符合要求的点,在两个不同封闭图形中.到这里,思路断了.
举例:x1~x2曲线平移（整数）k后,和x5~x6曲线有交点的条件是:
x1在x5~x6之间,x2在x5~x6之外;或者x2在x5~x6之间,x1在x5~x6之外;或者至少一个端点重合.

这里个数怎么算,迷路了。顺路走下去？还是改道？大家帮忙哪。

如果x1，x2-x1，x3-x2，...............都大于1，好象可以证明至少有n个，但不能用如果来证明。

[ 本帖最后由 jymm222 于 2009-6-28 16:11 编辑 ]

作者: rilaline 时间: 2009-6-28 17:23
我还是适合做小学生的题目

全还给老师了，不知老师收到没有。

作者: bucy 时间: 2009-6-28 21:44
标题: 回复 #34 jymm222 的帖子
试试构造一个函数来解决问题？

作者: bucy 时间: 2009-6-28 21:54
标题: 再谈证明题
有时候证明题比解答题好做，因为对于我们考试来说（不是搞研究），都可以默认题目是对的，并且报以很大的信心。这样我们证明过程中可以大胆（这很重要）地以命题成立为基础反推回来得到一些线索。数学题的求解有时候本身就是正向思维（“凑”）和逆向思维（反推）之一或两者结合的运用。

拿这道题来说，我们发现尝试了几种凑的方法不管用时，就要试试逆向的思维。因为不需要判断命题真伪，直接当真的用。这时既可以拿它当出发点，又可以反过来在重新凑的过程中构造有联系的函数（函数可以大胆地向结论靠拢——因为命题成立，这样的构造是很有可能成立的）。
这样的思路但愿对各位有所启发。

作者: bucy 时间: 2009-7-2 21:41
标题: 公布答案
我知道三种答案，为了给大家思考消化的时间，我想一天公布一种。
依照个人认为越好的放在越后的原则。好的标准是简单。数学一个很大
特性就是简单美。

好了，下面是第一种证法。

不妨把函数f(x)的定义域想成是 R/nZ，长为n的圆圈。
考虑 G_k(x)=f(x)-f(x+k),  k=1,2, ... , n－1
当 k < n/2
claim:  存在（u1,v1) 和（u2,v2)，使得 u1<>u2, v1<>v2, 并且
   v1-u1=v2-u2=k （注意，这里的运算都是在 R/nZ 中的 )
同时 f(u1)-f(v1)=f(u2)-f(v2)=0
事实上：由
G_k(0) + G_k(1) + G_k(2) + ... + G_k(n-1) = 0
分两种情况：
1）如果上式每一项都是0，显然可以找到u1,v1,u2,v2
2）如果有一项不等于0，那么在0,1, ... , n-1 这些点中，一定
有两点，i 和j ，使得 G_k(i) 和 G_k(j) 异号。注意到连接 i 和 j
的线段有两段，分别在每一段上用中值定理，可以找到 u1<>u2, 使得
G_k(u1)=G_k(u2)=0, 取 v1=u1+k, v2=u2+k 即可。
注意到 k< n/2, 所以不可能出现 u1=v2, v1=u2 的情形，不然
0＝(v1-u1)+(v2-u2) = 2k (mod n) 矛盾
这一点也就是说，如果还原到[0,n], 作为集合，{u1,v1}和{u2,v2}
是不同的。又显然，对不同的k，找到的{u,v}也是不同的。
所以对每个 k< n/2 可以找到两组满足要求的数对。
如果 k=n/2，重复上面的结果，一点可以找到一对满足要求的数对。
综合一下，可以找出 n-1 对数对。另外 {0,n} 也符合要求，
所以总共 n 对。

作者: qdylz 时间: 2009-7-3 10:47
标题: 回复 #37 bucy 的帖子
有点太绕了，还是想看简单的，期待中。。。

作者: bucy 时间: 2009-7-3 23:28
标题: 第二种证法
把命题改变一下：若f在[a,b]上连续，b-a=n,f(a)=f(b)，则存在n个那样的点对。
归纳法，n=1时显然。
n>=2时，在[a+1,b]上令g(x)=f(x)-f(x-1)，则
g(a+1)+g(a+2)+...+g(b)=f(b)-f(a)=0，
所以存在x使得g(x0)=0即f(x0)=f(x0-1)
现在我们把区间[x0-1,x0]截掉，也就是令
h(x)=f(x)(x<=x0-1),h(x)=f(x+1)(x0-1<x<=b-1)
则h在[a,b-1]上连续h(a)=f(a)=f(b)=h(b-1)，
由归纳假设，存在n-1个点对(u,v)满足
h(u)=h(v)，v-u为整数，又h(u)=f(u')，h(v)=f(v')，
其中u'-u=0或1，v'-v=0或1，所以v'-u'也是整数，
所以能找到(n-1)满足题意的点对，加上(x0-1,x0)，总共n对。

作者: bucy 时间: 2009-7-5 00:23
标题: 第三种证法
设F(x)=|f(x)-f(0)|.F(0)=F(n)=0 F(x)>=0;

令G(x)=F(x+k)-F(x) (0<=x<=n-k,k=1,2,……,n)
有G(0)=F(k)>0，G(n-k)=-F(n-k)<0
（如果F(k)=0,也即f(k)=f(0)，也产生一对u=0,v=k,使得条件成立）

于是在(0,n-k)中必有G(u)=0，即F(u+k)-F(u)=0，令u+k=v

当k分别等于1,2,……,n时有这样的n对u，v使F(u)=F(v)即f(u)=f(v)且v-u=k为整数

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