祝孩子们天天健康快乐！

标题: 挑战小学数学难题---大家参与啊 [打印本页]

作者: hubaichun 时间: 2009-4-9 09:29
标题: 挑战小学数学难题---大家参与啊
孩子今年就要入学了，我也需要练练手了。
欢迎大家提供数学难题，比如历届小学竞赛题（不知道有没有这种竞赛）。
我做不出来大家做，让我们一起开阔视野！

工作原因，我做的不一定及时，大家也可以先做。

作者: hubaichun 时间: 2009-4-9 09:50
先编造个简单的：（看见一个直线排队的帖子）
小朋友们围成一个圆圈，小刚点人数：往左边数小红是第56个，从右边数小红是第28个，一共多少小朋友。（一年级）

[ 本帖最后由 hubaichun 于 2009-4-9 02:01 编辑 ]

作者: hubaichun 时间: 2009-4-9 09:52
小朋友们围成一个圆圈，小刚点人数：往左边每隔2个人数一次小红是第15，从右边每隔1个人数一次小红是第21，一共多少小朋友。（N年级）

作者: hubaichun 时间: 2009-4-9 09:58
小朋友们围成一个圆圈，小刚点人数：往左边每隔2个人数一次，再退回一个人接着这样数，小红是第15，从右边每隔3个人数一次个人数一次，再退回一个人接着这样数，小红是第21，一共多少小朋友。（N年级）

作者: qdylz 时间: 2009-4-9 10:22
标题: 回复 #2 hubaichun 的帖子
56+28-2=84-2=82
因为小刚和小红各多点了一次。

作者: qdylz 时间: 2009-4-9 10:26
标题: 回复 #3 hubaichun 的帖子
〔（15-1）×3+1〕+〔（21-1）×2+1〕-2＝43+41-2＝82

作者: hubaichun 时间: 2009-4-9 10:28
标题: 回复 #5 qdylz 的帖子
不点自己，从左右第一个人（别人开始点）。
#4楼的题有趣一些，试试看。

作者: qdylz 时间: 2009-4-9 10:31
标题: 回复 #4 hubaichun 的帖子
〔（15-1）×2+1〕+〔（21-1）×3+1〕-2＝29+61-2＝88

作者: qdylz 时间: 2009-4-9 10:40

原帖由 hubaichun 于 2009-4-9 10:28 发表
不点自己，从左右第一个人（别人开始点）。
#4楼的题有趣一些，试试看。

如果不点自己，第一题就是84人了，小红重复点了一次，小刚一次没有点。

感觉题目不太严密。

作者: qdylz 时间: 2009-4-9 10:46
标题: 给你出一道难题
题目如下：

老师要组织200个学生要郊外郊游，目的地距离学校30公里。老师很抠门，就租了一辆车，只能坐50个人，学生的步行速度为5公里/小时，车的速度为45公里/小时。为了最快到达目的地，于是采用步行和乘车相结合的办法。问最少要多少时间可以到达呢？

这是原题目，感觉有问题，就是老师没有算上。为了弥补这个缺点，老师和学生总计200人考虑或考虑老师亲自驾车学生还是200人。不解方程

作者: hubaichun 时间: 2009-4-9 11:13
题有点难，不容易用一个式子弄出来，可以分步骤做，我时间有限，提供以下解题思路，大家可以继续做。
车的效率高，要充分利用车。
1、最多需要运四次，但是可能不需要，某次时候就是人车同时到的极限--空余时间为0
可以分4次解题。
计算第一次回头接的相遇时间：
第二次接的相遇时间剩余人数。
最终相遇时间，剩余人数的剩余里程除以速度=需要的剩余时间
把最后的剩余时间+相遇的时间=总时间
每一次相遇的时候，时间，里程都可以计算出。（在前一次的基础上）
因为充分利用车是大原则，因此这是手动几挡的，而不是无限变速类的。

通过思考，可以结合成一个算术式子。

应该可以总结出算术式子，比如20000人的时候就不能笨算了。

[ 本帖最后由 hubaichun 于 2009-4-9 03:17 编辑 ]

作者: hubaichun 时间: 2009-4-9 11:32
我用算术方法试一试：
人总在走，车也来回跑。
此题一定会这样：
1、开始走150人，运50，后来接了3次。
可以理解为先后坐车的前150人没有意义，就当是空车来回跑，走到最后的50人是真的。车和最后这50人见了3次面。
见面的时候时候人车一共走了30公里x6=180公里，时间180/(5+45)。剩下的距离就知道了，车走.

解题有误，每次都应单独计算，因为每次的人车见面时间取决于剩余里程的2倍，而不是30公里x2（第0次是）

[ 本帖最后由 hubaichun 于 2009-4-9 04:13 编辑 ]

作者: hubaichun 时间: 2009-4-9 11:38
上面解题没有进行验算，是不严密的，应该用时间验算，人很多的情况下见面的次数会远小于人数除以车的载员数，很多人会走到终点的。车就没有意义了，决定不了时间了。

[ 本帖最后由 hubaichun 于 2009-4-9 03:40 编辑 ]

作者: qdylz 时间: 2009-4-9 12:14
标题: 答案先不说，继续出题
下列算式中，不同的汉字代表不同的数字，则：白＋衣的可能值的平均数为__________。

作者: qdylz 时间: 2009-4-9 12:21
　兄弟三人分24个苹果，每人所得个数等于其三年前的年龄数．如果老三把所得苹果数的一半平分给老大和老二，然后老二再把现有苹果数的一半平分给老大和老三，最后老大再把现有苹果数的一半平分给老二和老三，这时每人苹果数恰好相等，求现在兄弟三人的年龄各是多少岁？

作者: hubaichun 时间: 2009-4-9 12:32
先思考一部分：

江+江，偶数，则长是偶数：长  0，2，4，6，8
对应的江可能为                   江  3，2，1，0，4
                                       或 8，7，6，5，9

白，衣  用一个字  平（平均数代替）
可以简化成非常对称的格式。
长为偶数，十位进位到百位应当为2。白+衣+江=18，19，或者20,条件少后可以试算法解决。

[ 本帖最后由 hubaichun 于 2009-4-9 05:03 编辑 ]

作者: hubaichun 时间: 2009-4-9 13:35
兄弟三人分24个苹果，每人所得个数等于其三年前的年龄数．如果老三把所得苹果数的一半平分给老大和老二，然后老二再把现有苹果数的一半平分给老大和老三，最后老大再把现有苹果数的一半平分给老二和老三，这时每人苹果数恰好相等，求现在兄弟三人的年龄各是多少岁？

解题思路：其实年龄是个马虎眼，先不在意年龄。
从后向前推：最后每人一样：8个苹果。老大给之前16个，给了老3，老2都是4个。地2步后，也就是老2出手后，老2，老3都是剩下4个苹果，老大16个。

剩下就研究的比例问题，用比例的算术变化和苹果数目挂钩，求出其中一人的

[ 本帖最后由 hubaichun 于 2009-4-9 05:37 编辑 ]

作者: qdylz 时间: 2009-4-9 14:30

这个题我没有做过，只是先看了答案了，结果是12多一点。
做做试试：
江+江+长＝6，有三种可能

江+江+长＝6；A江＝1，长＝4（江＝长＝2舍掉；江＝3，长＝0也舍掉）
江+江+长＝16，江大于3；B江＝4，长＝8；C江＝5，长＝6；D江＝6，长＝4；E江＝7，长＝2；
江+江+长＝26，只有一种可能，F江＝9，长＝8。

看10位，假若白+衣+江＝10，考虑A种情况，江＝1，白+衣＝9（白+衣＝19不可能），
那么青+青+长＝19，长＝4，青+青＝15，不可能；故A种情况应舍掉；

看到所有的长皆为偶数，青+青+长＝19应该舍掉，青+青+长＝18是必然的。

考虑B种情况，看10位，白+衣+江＝19，江＝4，白+衣＝15，青＝5满足条件，B成立；

考虑c种情况，看10位，白+衣+江＝19，江＝5，白+衣＝14，青＝长＝6舍掉；

考虑D种情况，看10位，白+衣+江＝19，江＝6，白+衣＝13，青＝7满足条件，D成立；

考虑E种情况，看10位，白+衣+江＝19，江＝7，白+衣＝12，青＝8满足条件，E成立；

考虑F种情况，看10位，白+衣+江＝18，江＝9，白+衣＝9，青＝5满足条件，F成立；

因此有B、D、E、F四种情况成立，白+衣的值分别是15、13、12、9，
（15+13+12+9）÷4＝49÷4＝12.25。

作者: qdylz 时间: 2009-4-9 15:03
标题: 回复 #17 hubaichun 的帖子
还没有算年龄，留个悬念啊。
我算的年龄分别是16、10、7，那位给个算法啊？

关于那个学生郊游的问题，可以参见这一帖
致大米--与大家讨论如何让孩子学习数学 http://bbs.etjy.com/viewthread.php?tid=134954&highlight=

作者: 颀颀妈妈 时间: 2009-4-9 15:07
版主在线呀, 帮着做道题吧. 求阴影部分的面积.
谢谢你了.

作者: shanlon 时间: 2009-4-9 15:30
阴影部分实际是两个三角形之差，第一个三角形面积已知，关键是算第二个三角形

注意两交叉斜线，设其高为h, 距离小正方距离x

按等比关系，有
h/6=x/4
h/4=(10-x)/10

==> h=5/2 ==> h=60/19 原来算错了..俺不喜欢分数....

阴影面积=1/2*10*6-1/2*10*h=35/2 ==> S=.....

原帖由 颀颀妈妈 于 2009-4-9 15:07 发表
版主在线呀, 帮着做道题吧. 求阴影部分的面积.
谢谢你了.

216745

[ 本帖最后由 shanlon 于 2009-4-9 19:22 编辑 ]

作者: hubaichun 时间: 2009-4-9 15:38
这叫一元一次方程吧，好像是初中内容了。

作者: sunvale 时间: 2009-4-9 15:42
小学数学，有点晕啊！

作者: hubaichun 时间: 2009-4-9 15:51
图片6.jpg (2.36 KB)
2009-4-9 07:07

我把阴影下面的斜线与大正方形上面的线延长相交。
得到上面延长线长度为9，阴影部分面积积和下面空白三角形面积比为9：10.
这样阴影面积为(10x6/2 ) x9/19
我错了吗？

向右上角延长后，右侧高度是6，下面延长到15，（增加5）；上面增加了9，也到了15.
交叉三角形的高度一样，样子成比例，就看底边大小了。

[ 本帖最后由 hubaichun 于 2009-4-9 07:57 编辑 ]

作者: 小小小鲸鱼 时间: 2009-4-9 15:55
看热闹，，，
准备好好学习，天天向上。

作者: qdylz 时间: 2009-4-9 15:58
作辅助线，将大正方形上边延长与小正方形右边相交。
阴影以右的面积为6×6÷2+4×6＝42，
42-4×6÷2＝42--12＝30，
设阴影下边线与正方形中间共用线交于A，过A作正方形底边线的平行线交小正方形右边线于B，交斜线于E，大正方形左下角点为C，右下角点为D，小正方形右下角点为F。

可以算得AD＝4×6÷10＝12/5，
三角形ACD面积＝6×12/5÷2＝36/5，矩形ABFD面积为12/5×4＝48/5。
BE＝4×12/5÷6＝8/5，三角形BEF的面积＝8/5×12/5÷2＝48/25。
阴影部分的面积＝30-36/5-48/5+48/25＝66/5+48/25＝378/25
即15又3/25。

作者: qdylz 时间: 2009-4-9 16:05
标题: 回复 #27 qdylz 的帖子
我的错了，漏减了一块，24楼是正解。学习了。

[ 本帖最后由 qdylz 于 2009-4-9 16:19 编辑 ]

作者: hubaichun 时间: 2009-4-9 16:13
我上班不干正事，低头画几何辅助线，对面大哥问，咋还做上几何题了？

开始工作了，5月份再静下心来研究抽屉问题，还有比较动脑的其它经典问题。

书本扔的久了，需要看看教科书了。

大家共同进步！让数学版热闹起来。

作者: 颀颀妈妈 时间: 2009-4-9 16:39
已经不知是儿子在上学还是我在上学,
是儿子在备考还是我在备考.
感觉自己比孩子还勤奋.

作者: jiangying 时间: 2009-4-10 11:43
气死我了

昨天给洋洋出转圈数人数的问题.我出的左数第４个，右数２个，他先回答一共６个人，马上改口说７个人

回家画图，他画了７个人，然后说我的题出错了，要么是左５右２，要么是左４右３.就犯牛脾气,钢琴也没练

作者: qdylz 时间: 2009-4-10 14:41

原帖由 颀颀妈妈 于 2009-4-9 16:39 发表
已经不知是儿子在上学还是我在上学,
是儿子在备考还是我在备考.
感觉自己比孩子还勤奋.

可怜天下父母心呐！
我孩子还小，我更要勤奋一些了，
陪他学习还得看他高兴不高兴、愿意不愿意。

作者: 颀颀妈妈 时间: 2009-4-23 16:49
用56米长的栅栏围成一个长方形花坛（长、宽都是整厘米数），其中一面利用围墙，怎样围才能使长方形花坛的面积最大？最大的面积是多少平方分米？

作者: hubaichun 时间: 2009-4-23 17:29
我先用大学的数学解决的：一个边为a，一个边为56-2a,面积是56a-2a2,求导=0，a=14

用算术方法如下：
以围墙为轴，镜像，就是2个一样的长方形，中间是围墙，两个一样的长方形的边加起来周长正好112.面积是2倍，周长一定的情况下正方形的面积最大。原来的3边长56的长方形正好是大正方形的一半。

[ 本帖最后由 hubaichun 于 2009-4-23 09:31 编辑 ]

作者: 颀颀妈妈 时间: 2009-4-23 17:44
标题: 回复 #33 hubaichun 的帖子
这题是个三年级孩子的妈妈短消息发来的.
当天让颀颀做了就回了短消息.
颀颀的答案:
周长一定, 长宽越接近正方形, 长方形的面积越大.
长宽要求是整厘米数. 所以
围成1866cm*1867cm 的长方形时, 面积最大.
二边1867cm,一边1866cm, 一边利用围墙.
面积: 3483822平方厘米.

过一天，那妈妈消息说：
算了一下，当两边长为18，20时，面积为360，比颀颀算出来的面积大呢。这题我也不知道正确答案．

接到那妈妈的短消息．我回的短信：
这道题, 当是问了颀颀就回了短消息, 自己也没有多想呢. 竟然做错了也不知道.
再看了一下题，应该是这样的：
可以设围好的长方形与围墙相邻的一边长为X.
则利用的围墙长度为5600-2X.
长方形的面积为:　(5600-2X)*X=5600X-2X*X
题目要求的是5600X-2X*X的最大值．　
当X=1400时，有最大值3920000平方厘米．　
也就是围成长2800, 宽1400的长方形面积最大, 有3920000平方厘米.

然后又接到那妈妈的短消息：
你用的是方程，三年级的孩子肯定接受不了，有没有更好的方法？

所以颀妈没辙了

，来求助，看大家的好方法．

谢谢hubaichun版主．　
等会短消息，让那妈妈自己来看．

作者: hubaichun 时间: 2009-4-23 17:56
标题: 回复 #34 颀颀妈妈的帖子
我上面做题有些不地道，不讲究。
先做出来，画图一看正好是半个正方形，才想起来镜像的。
呵呵。

作者: 颀颀妈妈 时间: 2009-4-23 18:02
谢谢你了, 我就没有想到这一点呢．
有的东西的确是一点就透，但自己就是想不到．

这个镜像的解释，应该能让三年级的小朋友理解了．

作者: sydsgyh 时间: 2009-4-23 21:48

这题是个三年级孩子的妈妈短消息发来的.
当天让颀颀做了就回了短消息.

谢谢大家，这题是我儿子上周双休作业中的一题。当时我除了方程不会做，在一个数学群里求助也没人会做，看颀颀妈妈在线，向她求助了。

儿子那天回来，发现老师讲的方法和答案都不对，老师是这样说的：边长越是接近，面积越大。56/3=18。。2，所以边长为18和20，面积为360，显然这不是最大面积。

看了版主的方法很好，已经跟儿子说过了。再次感谢大家。

作者: qdylz 时间: 2009-4-24 04:03
37楼和颀颀妈妈可以看看这一帖，和这个题目类似。
据说是21世纪最难的一道小学数学题http://bbs.etjy.com/viewthread.php?tid=142247&extra=page%3D6

关于解法，胡版提出用导数，其实同样一个式子56a-2a*a，可以用初中二次函数求极值的方法。
配方-2（a-14）（a-14）+392，当a＝14时，有最大值392。

胡版的镜像理论，根小学生解释，简单明了。

作者: qdylz 时间: 2009-4-24 04:26
34楼颀颀妈妈已经提到极值了，

这种题目不是小学生做的，要使他们完全明白，必须等到上初中以后。

勉强一点的解释，还想到一种，也是从二次函数来的，56a-2a*a＝0有两根，当a＝（a1+a2）/2时有极值。

小学生可以很简单算出，a＝0时面积为0，a＝28时，面积为0。所以a＝14时面积最大。

作者: hubaichun 时间: 2009-4-24 06:08
转贴：
题目：生活数学：用一块面积为80平方米的铁皮，制作一个无盖的长方体盒子，请问怎
么做盒子的体积最大？

已知的小学知识：一个立方体在表面积确定的情况下，正立方体的体积最大那么，如何将这个问题转化到已知的知识点上呢？已知的知识点要求这个立方体要有六
个面，但这个题目要求的盒子只是五个面。如何把这一差异补上呢？
对了，做两个一模一样的盒子，把其中一个反扣在另一个上面。这样，就是一个六个面
的立方体了。这个立方体的表面积是给定的160平方米，而它的体积最大时，题目要求
的盒子的体积也是最大的。

[ 本帖最后由 hubaichun 于 2009-4-23 22:09 编辑 ]

作者: hubaichun 时间: 2009-4-24 08:21
40楼的解法是转贴内容。以上采用的是补全法。
其实这两道题还可以采用缩小法。分割法。
第一道题把长方形切一半，就是2个小正方形的面积了，固定长宽和情况下正方形面积最大，适用于三角形。
第二道题采用田字格法，切成4个小正方体。有一个公共顶点的相邻三面面积和固定，正方体体积最大。适用于三棱锥。

作者: qdylz 时间: 2009-4-24 08:30
把第一题变一下，

用56米长的栅栏围成一个三角形花坛（每边都是整厘米数），其中一边利用围墙，怎样围才能使三角形花坛的面积最大？最大的面积是多少平方分米？

作者: qdylz 时间: 2009-4-24 08:33
再变

用56米长的栅栏围成一个花坛，其中一面利用围墙，怎样围才能使花坛的面积最大？最大的面积是多少平方分米？

作者: hubaichun 时间: 2009-4-24 08:46
42,43是一样的，实际上都是整数

作者: jymm222 时间: 2009-4-24 08:47
求一直线同侧两点到直线上某点的距离和最短的那点，在2，3年级奥数里就有，使用到镜像理论。如果在此基础上，能延伸想象和思考，孩子有可能自己可以解出栅栏题......铁皮盒子题。

（点......线......面......体）

作者: qdylz 时间: 2009-4-24 08:52

原帖由 hubaichun 于 2009-4-24 08:21 发表

用一块面积为80平方米的铁皮，制作一个无盖的长方体盒子，请问怎么做盒子的体积最大？

采用田字格法，切成4个小正方体。有一个公共顶点的相邻三面面积和固定，正方体体积最大。适用于三棱锥。

胡版构思巧妙，赞一个。

试做一下
设4个小正方体边长为x，则每个小正方体相邻三面的面积为3x*x，四个是12x*x
12x*x＝80
最大体积是4x*x*x＝4×20/3*（根下20/3）＝4×20/3*2×（根下5/根下3）＝160÷3×（2.236÷1.732）＝68.853

作者: 颀颀妈妈 时间: 2009-4-24 08:54

我说的家庭教育是指很卖力的家庭教育，家长成为全能战士，事必躬亲。
实际上这些东西应该由教育系统解决的。
教育沦落到这份田地实在是一种失败。
家长们很多有意义的人生被补充学校的教育而占去了。
也尤为同情全职家长们。

刚在鼠版看了这段回来.
想想越越老师做的那个答案,
咱们不得不在家多卖些力.

作者: qdylz 时间: 2009-4-24 08:55

原帖由 hubaichun 于 2009-4-24 08:46 发表
42,43是一样的，实际上都是整数

我觉得不一样

42是求三角形的最大面积

43没有限定形状，我初步考虑半圆面积最大，还没有证实。

这两个答案应该都不是整数。

作者: qdylz 时间: 2009-4-24 09:17
42楼的题目

利用胡版的镜像理论，围墙两面的全等三角形组成的四边形为正方形时面积最大。

这个正方形的边长为56÷2＝28，正方形的面积为28×28，三角形的最大面积为28×14＝392。

作者: qdylz 时间: 2009-4-24 09:25
43楼的题目

还是利用镜像理论，围墙两面栅栏组成的图形为圆形时面积最大。

这个圆形的半径为56÷π＝56/π，半圆的面积为1/2xπx56/π×56/π＝28×56/π＝499.1。

比三角形和长方形的面积都大。

但是这样做对了吗？还是有点疑问。

作者: jymm222 时间: 2009-4-24 09:36
标题: 回复 #50 qdylz 的帖子
算出来圆形的最大，那就是对的。
三角形和长方形的面积一样，它们都是28X28正方形面积的一半。

作者: jymm222 时间: 2009-4-24 09:54
标题: 回复 #45 jymm222 的帖子
是有可能想出来的，就看家长有没有耐心，给不给时间。

我读（大概）初一（最多初二）的时候，我们3个同学偶然看到报纸上有个趣味数学竞赛，我们那时候没有一点儿课外书，觉得很新鲜，就一起做啊。

那次不太难，除了一题都做出来了。

那题是：有10个袋子，每袋装10个什么东西，其中有1袋的每个东西少1克（1两？不记得了，这不重要）。要求称1次，找出那袋。

当时不知道怎么办，我们2个同学放弃了，另1个同学不愿意放弃，过了2，3天，还真给想出来了。

（如今小学生就会解这类题目了

）

[ 本帖最后由 jymm222 于 2009-4-24 10:20 编辑 ]

作者: hubaichun 时间: 2009-4-24 10:05
是最少称几次吗？

作者: hubaichun 时间: 2009-4-24 13:05
呵呵，是不是排列1，2，3，4，5.。。10
分别拿出1，2，3、、、10个东西
剩下的一起量一次，和整数差几克就是第几个袋子啊？

我还以为不拿东西，换着量最少几次呢

作者: qdylz 时间: 2009-5-6 17:21

颀颀妈妈发的《第七届日本数学奥林匹克竞赛试题》这道题我怎么看了答案也不明白，请胡版或颀颀妈讲解。

　问题5 有一只表分不清长针和短针了，多数情况下可根据两针所指的位置判断出正确的时间。但有时也会出现两种情况，使你判断不出正确的时间。请问从中午12点到夜里12点这段时间会遇到多少次判断不出的情况？（注：不包括中午12点和夜里12点）

分析与解 当表在某点某分时，经过一段时间后，如果时针恰好走到原来分针的位置，而分针恰好走到原来时针的位置，即两针位置互换，由于分针、时针分辨不清，所以凡能发生两针位置互换的两个时刻都不能正确的判断当时的时间（如下图）。

　　两针位置互换，当时针、分针共走60格时，由于时针走1格，分针走

午12点多至1点多，1点多至2点多，2点多至3点多……夜里10点多至11点多，共11次。

　　同样可以算出两针位置互换时针、分针共走120、180、240、300、360、420、480、540、600、660格时，可以出现两针位置互换的次数分别是10、9、8、7、6、5、4、3、2、1次，所以分辨不出正确时间的次数共有（11＋10＋9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1）×2=132次。

　　注：题目只要求我们算出分辨不清时间的次数，所以没有必要算出具体的时间。

作者: 颀颀妈妈 时间: 2009-5-6 18:27
这道题如果看明白了凡能发生两针位置互换的两个时刻都不能正确的判断当时的时间这句, 就好理解了.
题目中的长针和短针你把它们当成是一样长短．还有，解这题时，你一定是深处暗室，没有其它参照物可判断的．
判断依据就是长短针之间的位置关系．　

比如　6:03分，跟据二个针的位置就能判断出不可能看成是12:30
但12点过5分多一点，会被看成是1点1分多．

不知道说清楚了没有．　

作者: qdylz 时间: 2009-5-7 14:15
标题: 回复 #56 颀颀妈妈的帖子
“凡能发生两针位置互换的两个时刻都不能正确的判断当时的时间”这个意思我懂，关键是次数的计算不懂。

1个小时有11个位置，12个小时就是12×11＝132。

答案的算法太令人费解。

作者: 颀颀妈妈 时间: 2009-5-7 15:14

作者: 颀颀妈妈 时间: 2009-5-11 20:30
请教一道华赛培训题.

2n名棋手参加象棋比赛, 胜者得2分, 负者得0分, 平局各得1分.赛后各棋手得分互不相同. 且第二名得分恰好等于后n名得分总和. 求n的最大值, 并给出n取最大值时各位选手的一种得分表.

作者: qqyou 时间: 2009-5-11 21:25

原帖由 颀颀妈妈 于 2009-5-11 20:30 发表
请教一道华赛培训题.
2n名棋手参加象棋比赛, 胜者得2分, 负者得0分, 平局各得1分.赛后各棋手得分互不相同. 且第二名得分恰好等于后n名得分总和. 求n的最大值, 并给出n取最大值时各位选手的一种得分表.

请注明是几年级的竞赛题目，比赛是否单循环

做这道题不难，但要是用小学四年级的方法做就有一定难度了，我也没受过这种训练，呵呵

作者: hubaichun 时间: 2009-5-11 23:07
标题: 回复 #60 qqyou 的帖子
应该是单循环
早就忘记排列组合和数列了，还给书本了
感觉这个题是中学生竞赛难度的

N个人单循环的次数是不是每个人N-1次，总次数为N(N-1)/2?
----我现推的，用N=4验算的
总分数应该是N(N-1)
如果分数都不一样，2n里的第二名分最低应该是0,1,2,3..2n-2
最高应该接近(2n(2n-1)/2-(2n-3)(n-1))/2

看起来还不好算

回家睡觉去了

作者: qqyou 时间: 2009-5-11 23:22

原帖由 颀颀妈妈 于 2009-5-11 20:30 发表
请教一道华赛培训题.
2n名棋手参加象棋比赛, 胜者得2分, 负者得0分, 平局各得1分.赛后各棋手得分互不相同. 且第二名得分恰好等于后n名得分总和. 求n的最大值, 并给出n取最大值时各位选手的一种得分表.

儿子去睡觉了，我来说说这道题的思路吧。如果让我儿子做这道题，他应该这么做（小学一年级，我还没有给他做呀，也不准备拿这道难题给他做）

前提：要是单循环比赛，如果不是，这道题我没法解，因为变数太大，所求的值是无穷大

原则：前面几名分数要尽可能的最多，而后面几名要分手尽可能的最少，这样才能充分保证第二名的成绩等于最后n名的总和。

2n名选手，单循环比赛，最好的成绩的第一名是每轮都获得胜利，第二名则是只输一场,也就是比第一名少两分，第三名最多的分数是只输两场，比第二名少两分……

由于每轮有输就有赢，因此总分是固定的，每轮的分数总和都是2n分，所以第二名每少两分，最后的名次里就会增加两分

最后n名选手，最少的成绩和，因为得分各不相等，那最少是0+2+4+……+2×(n-1)

单循环赛，比赛为2n-1轮

下面列表（列复杂些，是因为我儿子仅仅会简单乘法，高年级的孩子则可以简化）

n=                                     1 2 3 4 5    6
2n=                                  2 4 6 8 10 12
第一名得分（最高）          2 6 10  14 18 22
第二名得分（最高）          0 4 8 12 16 20
最后n名得分和（最少）    0 2 6 12 20 30

从上面表里可以看出，当n=5的时候，第二名最多是16分，而最后n名总和最少也是20，已没有相等的可能，因此n最大可能就是4

可能的一种排分表是
14 12 10 8 6 4 2 0

列表这是无奈，方程式解最容易

[ 本帖最后由 qqyou 于 2009-5-11 23:43 编辑 ]

作者: 颀颀妈妈 时间: 2009-5-12 07:25

最后n名选手，最少的成绩和，因为得分各不相等，那最少是0+2+4+……+2×(n-1)

麻烦你解释一下. 为什么后面n名选手的的成绩和为什么不是: 0+2+3+4...

作者: qqyou 时间: 2009-5-12 10:29

原帖由 颀颀妈妈 于 2009-5-12 07:25 发表

麻烦你解释一下. 为什么后面n名选手的的成绩和为什么不是: 0+2+3+4...

实际上这个要证明起来，小孩子肯定不懂，只能拿数列给他们看规律

把2n个人分为两组前n名，后n名

首先说要先找最后n个最小的可能，让最后n个最小的数列是0，1，2，3……

因为每轮比赛下来总分是一样的2n ,而总轮数是2n-1，因而把最后得分数列，用组合的方法分组的话，每两个头尾相加都必须是2*(2n-1)，所以按最小的排列结果对应的前n名分数是 2*(2n-1),2*(2n-1)-1,2*(2n-1)-2,……

但这种结果是不可能的做到的

这么解释，估计没有一个小学生能明白，实际上可以用归纳法证明出，最小的后n个，只能是 0，2，4，6，……

现在我省略证明过程，指哪一个具体例子来说明你上面那个问题

假设是n=4,最后4名的得分是0，2，3，4
那第一名最大的分是14，第二名是12，第三名必须是11，第四名必须是10分，否则无法保证总分数是4×14
但第三名是11有没有可能呢，没有！11分意味着他至多输一场然后平一场，但实际上由于单循环，他至少要输给第一名、第二名各一场，所以不可能得到11分。在题目规则下，第三名最好的得分只能是10分，类推第四名最好的结果是8分

不过从回答你这个问题，我看到了我上面那个答案中分析的错误了，实际上第二名最高的分数只能是2×（2n-1）-2没错，但第一名我没必要去求最大，我下面重新回答一次，来解决这个错误。

作者: qqyou 时间: 2009-5-12 10:48
我前面的回答，考虑不周了，实际上最后n名最少的得分是 1，2，3，……，n
只要第一名不要求是全胜，那前n名的结果完全可以是是2×（2n-1）-1，2×（2n-1）-2，2×（2n-1）-3，……

前提：要是单循环比赛，如果不是，这道题我没法解，因为变数太大，所求的值是无穷大

原则：第二名分数要尽可能的最多，而后面几名要分手尽可能的最少，这样才能充分保证第二名的成绩等于最后n名的总和。

单循环赛，比赛为2n-1轮

下面列表（列复杂些，是因为我儿子仅仅会简单乘法，高年级的孩子则可以简化）

n=                                     1 2 3 4 5    6 7
2n=                                  2 4 6 8 10 12  14
第二名得分（最高）          0 4 8 12 16 20 24
最后n名得分和（最少）    0 3 6 10 15 21 28

从上面表里可以看出，当n=6的时候，第二名最多是20分，而最后n名总和最少也是21，已没有相等的可能，因此n最大可能就是5

可能的一种排分表是
17 16 15 14 12  6 4 3 2 1

作者: 颀颀妈妈 时间: 2009-5-12 12:18
标题: 回复 #65 qqyou 的帖子
如果N=5，则依其得分排列：17 16 15 14 12 6 4 3 2 1
假如前三名得分正确,即17 16 15, 那么第一名有8胜1平,他只能与第三名平局,第二名有8胜,他只能负于第一名,第三名有7胜1平1负,他只能负第二名,平第一名, 接下來第四名最多只能胜6场,得12分.就不能满足了.

作者: qqyou 时间: 2009-5-12 13:10

原帖由 颀颀妈妈 于 2009-5-12 12:18 发表
如果N=5，则依其得分排列：17 16 15 14 12 6 4 3 2 1
假如前三名得分正确,即17 16 15, 那么第一名有8胜1平,他只能与第三名平局,第二名有8胜,他只能负于第一名,第三名有7胜1平1负,他只能负第二名,平第一名, 接 ...

嗯，谢谢，确实需要不断研究，我真的佩服你颀颀妈妈，难得一个女孩子把数学问题研究的这么透彻

看来我还需要再认真研究这个问题

有可能5不能成立，那前面那个4才是最可能的结果

17，16是可能的，但15大约就做不到了

看来我前面的想法是对的，我先论证最后8名可能的分数，在全不重复的情况下，最小是多少吧。

作者: qqyou 时间: 2009-5-12 14:20
谢谢颀颀妈妈的不断提问，使得我真正可以思考这个题目

现在我可以给出这道题目的最正确的答案了。我第一个答案结果正确，但论证的思路不对，因为那仅仅是考虑了一个特例

我第二个答案实际是错误的，因为那不可能出现

现在这个我认为是最终的正确答案了。

不过完整的结果，不能给我儿子用了，因为必须完整了解乘法和变量才会比较容易

首先证明第二名最多的分数只能是2×(2n-1)-2

2n个人，单循环比赛是2n-1轮，第一名最多的分数是2×（2n-1)分，即全胜，这种情况下，第二名肯定要输给第一名，所以最高分是2×(2n-1)-2。如果第一名是2×(2n-1)-1分，按照每位选手得分各不相同的条件，第二名最高也是2×(2n-1)-2

下面说最后n名得分总和最少的理解，要让最后n名得分总和最少，那就是说，他们在与前n名选手的对抗中，没有赢过，只有最后n名选手之间的比赛胜负，这就相当于最后n名选手之间进行了一场单循环赛，这种比赛每轮总分n分，共n-1轮，最终总分和是n×（n-1）。不管各个名词得分是否重复，这个总分不会变，除非有人弃权退出比赛。

如果最后n名选手和总分列前面n名选手之间不是全输，则后n名得分总和只会增加，不会减少。

因此，最后n名选手得分总和，最少就是n×（n-1）

下面列表：
n=                                     1 2 3 4 5    6
2n=                                  2 4 6 8 10 12
第一名得分（最高）          2 6 10  14 18 22
第二名得分（最高）          0 4 8 12 16 20
最后n名得分和（最少）    0 2 6 12 20 30

从上面表里可以看出，当n=5的时候，第二名最多是16分，而最后n名总和最少也是20，已没有相等的可能，因此n最大可能就是4

可能的一种排分表是
14 12 10 8 6 4 2 0

再给一种可能的排分表，来说明我第一次证明不过是仅仅考虑了特例的情况，故第一种证明，也是错误的方法，尽管最后的结果对了。

13 12 11 8 5 4 2 1

谢谢颀颀妈妈，是你让我认真思考了这个问题，谢谢啦。

作者: 颀颀妈妈 时间: 2009-5-12 15:11
标题: 回复 #68 qqyou 的帖子
这道题是孩子上周日带回家的华赛培训班的作业卷. 一共六题, 这是第四道.
前三题, 他能动手做,可以给出解. 但只做对了一题.
他做错的两题, 我还能看到他错在那儿. 是那儿没有想到.
但这一题, 他已经想了二天了. 试卷上划得乱七八糟. 做不出来. 我也做不出来.想得头疼.

体会到家长不能辅导孩子奥数,又不得不帮孩子解题的苦恼了.
以前觉得小学奥数小儿科.实在是错了.

我还得弄他剩下的另两道不会做的题.
做不出来, 还是要来请教大家.

作者: qqyou 时间: 2009-5-12 21:15

原帖由 qdylz 于 2009-4-9 14:30 发表
 http://www.neycs.cn/show/newshtml/class/cla85/as/olpk4/image012_0074.gif

……

因此有B、D、E、F四种情况成立，白+衣的值分别是15、13、12、9，
（15+13+12+9）÷4＝49÷4＝12.25。 ...

这类题总有一个很含糊的地方，我举一个例子

         9 7 8
         9 4 8
+       0 8 0
------------------
      2 0 0 6

这种可能等式是成立的，但他们会忽略这种情况，理由是数字的第一位数字不能是0,在我们的理念里，零就是没有，所以不用写

但这个等式在数学上确实是成立的，而且我们不习惯写不意味着这个算式不成立，实际上我们在计算机领域里的二进制，16进制运算中，大量的会看到前面带0的数字，你怎么可以算他不对呢。

结合前面分析的答案，我觉得这道题的正确答案是（15+13+12+9+11）÷5=60÷5=12

结果是一个整数，比较符合小学生们的情况。

所以我觉得这类题还是从国外抄袭来的，抄袭者自己设计正确答案的时候出现了错误，因此出现了一个大勺子。

作者: qdylz 时间: 2009-5-13 01:33
标题: 回复 #70 qqyou 的帖子
你的计算是正确的，但是080这个数应该算是两位数，不能算三位数。

假如有一道题让你求一个三位数，你求解5满足条件，你总不能回答这个三位数是005吧？

作者: qdylz 时间: 2009-5-13 01:38
2n个选手下棋这题，考虑了一个晚上，做出了17、16、15、14、12、6、4、3、2、1的答案，看了66楼颀颀妈的质疑，又删掉了帖子。QQ不辞辛苦、反复求证，终于得出了正确答案。我直接学习了。

[ 本帖最后由 qdylz 于 2009-5-13 01:39 编辑 ]

作者: qdylz 时间: 2009-5-13 01:41

原帖由 颀颀妈妈 于 2009-5-12 15:11 发表
这道题是孩子上周日带回家的华赛培训班的作业卷. 一共六题, 这是第四道.
前三题, 他能动手做,可以给出解. 但只做对了一题.
他做错的两题, 我还能看到他错在那儿. 是那儿没有想到.
但这一题, 他已经想了二 ...

这些题目应该都有难度，要是颀颀妈有空，把其余的几道题也传上来看看。

先谢谢了。

作者: qqyou 时间: 2009-5-13 09:19

原帖由 qdylz 于 2009-5-13 01:33 发表
你的计算是正确的，但是080这个数应该算是两位数，不能算三位数。

假如有一道题让你求一个三位数，你求解5满足条件，你总不能回答这个三位数是005吧？

但是那道题并没有说那两个数是三位数，只说了填入数字让等式成立。

作者: 颀颀妈妈 时间: 2009-5-13 09:26
第一题:

第二题:
周长为100, 边长为整数的等腰三角形共有多少种?

第三题:

第四题就是前面的2n名棋手题.

第五题:

第六题:

大的格中的短线是颀颀画的覆盖示意图, 原题中没有那些小杠.

现在第一至四题都没有问题了. 要解决剩下的第五, 第六两题.

作者: jymm222 时间: 2009-5-13 12:17
第一题，我费力凑了凑

20009-1.jpg (29.3 KB, 下载次数: 0)

20009-2.jpg (27.7 KB, 下载次数: 0)

作者: jymm222 时间: 2009-5-13 12:27
第二题:
周长为100, 边长为整数的等腰三角形共有多少种?

设腰为a，底边为b，2a+b=100，2a>b，那么b<50且为偶数。有24个？

作者: jymm222 时间: 2009-5-13 13:00
第五题：
设n张卡片数字的和为a。
共取n次，所有n个小朋友卡片数字的和为n*a，由已知小李卡片数字的和为a，那么n*a=a+2001，(n-1)*a=2001=3x23x29，后面...没想出来

作者: qqyou 时间: 2009-5-13 13:18
我来接着楼上的回答第五题

楼上的分析得很好了

现在n-1肯定是2001的因子，因此只能是3，因为如果他是第二个数23的话，24个不同的整数的和，肯定会大于3x29=87

至于他的排名，以为他是在2001的1/3的位置，也就是说其余三个人平均分是他的得分，得分又各不相等，所以最高排名可以是第二。

[ 本帖最后由 qqyou 于 2009-5-13 13:22 编辑 ]

作者: qqyou 时间: 2009-5-13 13:33
第6题方块染成棋盘格，日形格也染成黑白两格，就可以解决问题了

作者: 颀颀妈妈 时间: 2009-5-13 13:41
看了jymm222, qqyou 的解题过程. 再次感觉到, 弄奥数得先把语文学好.

解题时,想的游戏过程是每个小朋友抽一张卡片后, 放回去, 其它的小朋友再来抽. n个小朋友每人抽完一次算一轮. 进行n轮.
就没有想过应该是n个小朋友摸n张卡片, 摸了n轮.

作者: qqyou 时间: 2009-5-13 13:53
本帖最近评分记录

颀颀妈妈	2009-5-13 13:45	金钱	+3	第六题是说明题.
颀颀妈妈	2009-5-13 13:45	威望	+3	第六题是说明题.

说明题也要涂了色以后才好说明，回家把思路告诉儿子，让他先做一下，我相信它可以做出第一问来，如果第二问他不会解，明天我再告诉你答案。另外你可以提醒孩子一下，第二问这类题目，一般都是用反证法。

作者: 颀颀妈妈 时间: 2009-5-13 14:03

jymm222 2009-5-13 13:48 威望 +2 第四题看懂解答了，等着看三六题

第三题:
孩子答案上来了. 我觉得是对的. 但手中没有正确答案可以对, 不做保证的.

大家可能看不明白他写了什么, 我是能看懂的.

他的意思是a2为-1. 解出来a3为0, a4又是-1, .........

[ 本帖最后由颀颀妈妈于 2009-5-13 14:09 编辑 ]

作者: jymm222 时间: 2009-5-13 14:24
标题: 回复 #83 颀颀妈妈的帖子
算式我也看的懂^_^，但我不知道为什么最小。答题时用不用说明为什么最小？

颀颀这么写，确实太简化了，难怪比赛不知不觉丢分。

作者: 颀颀妈妈 时间: 2009-5-13 14:50
标题: 回复 #84 jymm222 的帖子
点着痛处了, 孩子比赛丢掉不应失的分, 要

.

他学奥数,我一直没有怎么要求, 反正是拔高的东西, 他自己能学多少算多少.
知道他明白了就行了. 没有要求过解题格式.
所以他解题的过程常常云遮雾绕, 不知所云, 式子里有时还会出现题目中没有的数字. 反正最后能蹦出个正确的解.

这几年他都是这样自学的,
不拘束他, 不要求他有完美的解题过程,
有好处也有坏处, 好处是他自己学得有兴趣. 思路还算开阔.
坏处是, 习惯了鬼画桃符.

作者: 颀颀妈妈 时间: 2009-5-13 15:00
还得补充一点, 第三题他写了解和答, 还是因为这次希望杯竞赛失利后, 有了教训才记得写的.
换成从前, 肯定只有中间的一行式子, 加个答案. 他是不会管别人看不看得明白的.

[ 本帖最后由颀颀妈妈于 2009-5-13 15:02 编辑 ]

作者: jymm222 时间: 2009-5-13 16:03
标题: 回复 #76 jymm222 的帖子
倒数最后两行，2001/2002>0.9估算就可以了，不必“=0.9995”，我随手用计算器算的

。

另外说下阅卷........
听说高考阅卷的人：中学来的教师；师大的教师；其它高校的老师；师大和其它高校的研究生。赶进度，一题有多解的时候，不大让人放心啊。

作者: qdylz 时间: 2009-5-13 17:11
忙了一天，又来晚了。

颀妈发的第五题应该能做，第六题不会，等QQ明天的答案。

作者: 颀颀妈妈 时间: 2009-5-13 18:58
标题: 回复 #82 qqyou 的帖子

说明题也要涂了色以后才好说明，回家把思路告诉儿子，让他先做一下，我相信它可以做出第一问来，如果第二问他不会解，明天我再告诉你答案。另外你可以提醒孩子一下，第二问这类题目，一般都是用反证法

谢谢你. 的确是让他把颜色涂了后, 他就就想出来了.

第二问多花了点时间, 不会下笔, 于是和他说用反证法.
他没有学过什么反证法.不知道什么是反证法

.
等他听明白了什么是反证法后, 也就知道应该如何下笔了.

答案在下面, 我明白他想说什么. 就是不清楚坛友们能不能看明白.

作者: qqyou 时间: 2009-5-13 21:56
你的儿子真是很有天赋的。

第二问回答得很好

第一问可以把词语再斟酌一下，意思没错。

简单地说，切割了奇数个日形块后，行（列）内剩下的是奇数个方块，无法平行于该线摆放满，故还需要有一个被切割。

作者: qdylz 时间: 2009-5-14 11:41
颀颀真不错，尤其第二问，思路超棒。

作者: jymm222 时间: 2009-5-18 09:48
第三题，证明了最小值。

-50.jpg (45.55 KB, 下载次数: 0)

作者: sayyousayme 时间: 2009-5-29 00:33
孩子的智力真的超乎大人们的想象啊，好棒！

作者: qdylz 时间: 2009-6-12 10:59
请教一道题，我没有做出来。谁能做？不能只写答案，要让我看懂、学会

。

20的n次方是2001×2000×1999×1998×......×3×2×1的因数，n最大是多少？

作者: qdylz 时间: 2009-6-12 11:01
1986年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题

小学生应该能做出来

（5）给出20个数：

（）
87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88它们的和是

（A）1789
（B）1799
（C）1879
（D）1899

作者: jymm222 时间: 2009-6-12 11:58

原帖由 qdylz 于 2009-6-12 10:59 发表
...
20的n次方是2001×2000×1999×1998×......×3×2×1的因数，n最大是多少？

瞎做，不确定对错

。

20的n次方=（2的n次方）X（2的n次方）X（5的n次方）

看起来，2001×2000×1999×1998×......×3×2×1，经过质因数分解（所有因数均要求为质数）后，质因数2的个数会大于质因数5的个数的两倍，那就可以只计算出质因数5的个数。

1，2，3，4，5（=1x5），6，7，8，9，10（=2x5），11，12，13，14，15（=3x5），16，............ ，2000（=400x5），2001。
这轮有400个5相乘，提取这400个5相乘后，数列变为：

1，2，3，4，5（=1x5），6，7，8，9，10（=2x5），11，12，13，14，15（=3x5），16，............ ，400（=80x5）。
这轮有80个5相乘，提取这80个5相乘后，数列变为：

1，2，3，4，5（=1x5），6，7，8，9，10（=2x5），11，12，13，14，15（=3x5），16，............ ，80（=16x5）。
这轮有16个5相乘，提取这16个5相乘后，数列变为：

1，2，3，4，5（=1x5），6，7，8，9，10（=2x5），11，12，13，14，15（=3x5），16。
这轮有3个5相乘，提取这3个5相乘后，没了。

这样，总共有400+80+16+3=499个5相乘，n=599（最大值）。

作者: qdylz 时间: 2009-6-12 12:24
标题: 回复 #96 jymm222 的帖子
是不是笔误？答案是499，不是599。

作者: mza 时间: 2009-7-2 10:18
白+衣的可能值的平均数是5.5 ，6 ，6.5， 7 ，7.5 。

作者: mza 时间: 2009-7-2 11:05
兄弟三人现在的年龄各是：16 岁，10 岁，7岁

作者: mza 时间: 2009-7-2 11:23
20个数的和1798

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