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标题: 幻方题－－先从洛书开始 [打印本页]

作者: qdylz 时间: 2009-1-14 15:42
标题: 幻方题－－先从洛书开始

神奇的幻方--洛书

相传在大禹治水的年代里，陕西的洛水常常泛滥成灾．河水泛滥时，又常有一只大乌龟背负着一张神秘的图浮出洛水．
人们经过留心观察，发现乌龟壳分为9块，横3行，竖3列，每小块乌龟壳有几个小点点，正好凑成从1到9这9个数字．可是，谁也弄不懂这些小点点究竟是什么意思．
有一年，这只大乌龟又浮出水面来了，忽然，一个看热闹的小孩大声惊叫起来：“大家看啦，多么有趣啊，这些小点点横着加是15，竖着加也是15，斜着加还是15！”人们想，大概河神要的祭品每样都是15份吧，于是，赶紧抬来15头猪，15头牛和15只羊献给河神，……，果然，河水从此再也不泛滥了．

这个神奇的故事流传很广，乌龟壳上的些点点，后来被称作“洛书”．我们撇开那些迷信色彩不谈，“洛书”确实有它吸引人的魅力．
确实，1～9这9个平平常常的自然数，经过一番巧妙的排列，就把它们每3个数相加的和是15的8算式，全部包含在一个图案中，真是妙不可言．
在数学上，像这样具有奇妙性质的图案叫做“幻方”．“洛书”有3行3列，所以叫3阶幻方．它是世界上最古老的一个幻方．
下面就是这种3幻方（洛方）：

它的三行横的、三列竖的、二列对角钱的三个数之和都等于15．

                                    4  9  2
                                    3  5  7
                                    8  1  6

古今中外的很多数学家都研究过幻方，最先把幻方当作数学问题来研究的人，是我国宋朝著名数学家杨辉．他深入探索各类幻方的奥秘，总结出构造幻方的简单法则，还动手构造了许多极为有趣的幻方，有名的“攒九图”就是他用前33个自然数构造而成的．攒九图有哪些性质呢？请动手算一算，每个圆圈上的数加起来是多少？每条直径上的数加起来又是多少？

包括大数学家欧拉在内的许多著名数学家也对幻方产生过浓郁的兴趣．
过去，幻方纯碎是一种数学游戏．后来人们在研究中发现了它在许多场合得到了实际应用，并且蕴含着许多深刻的数学原理．数学家进一步深入研究，终于使其成为一门内容极其丰富的新数学分支——组合数学．
但是，幻方也并不神秘．下面请同学们每人自己动手构造一个3阶幻方．请将－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4，这9个数分别填入下图方阵的9个空格中，使得横、竖、斜对角线的所有3个数相加，其和为0．并把这8个等于0的算式写出来．

[ 本帖最后由 qdylz 于 2009-1-16 13:24 编辑 ]

作者: lotus1999 时间: 2009-1-15 10:11

原帖由 qdylz 于 2009-1-14 15:42 发表

相传在大禹治水的年代里，陕西的洛水常常泛滥成灾．河水泛滥时，又常有一只大乌龟背负着一张神秘的图浮出洛水．
人们经过留心观察，发现乌龟壳分为9块，横3行，竖3列，每小块乌龟壳有几个小点点，正好凑成 ...

这学期小子也学了幻方，不过没做过有负数的，回去让小子试试。

作者: 博涛 时间: 2009-1-15 11:33
幻方是奥数里学的内容吗?

作者: qdylz 时间: 2009-1-16 14:18

4	9	2
3	5	7
8	1	6

奥数中有许多幻方题，我自己上学的时候没有做过，正好前段时间接触了一点《易经》知识，知道最古老的幻方就是上图中的洛书，只不过洛书是以点来表示数量。我研究幻方，就是从上图开始的。

这个幻方有如下特点：
1、将上下行互换或是左右行互换，幻方仍然成立。

8	1	6	2	9	4	6	1	8
3	5	7	7	5	3	7	5	3
4	9	2	6	1	8	2	9	4

当然也可以将幻方转动一个方向，如将上图中最后一个幻方逆时针转动90度，可以形成

8	3	4
1	5	9
6	7	2

但是所有转换出来的幻方只能称为幻方，洛书只有一种，就是下图的形式，其中的道理恐怕只有读懂了《易经》才能明白，但是学数学又能增长一点《易经》知识，何乐而不为呢？另外，从《易经》开始学习幻方，是不是很有趣呢？

4	9	2
3	5	7
8	1	6

2、幻方的中间行不可与其他行互换，中间列也不可与其他列互换。如果中间行（列）与其他行（列）互换，将使幻方不再成立，例如将洛书中的第一二行互换，尽管可以保证每行、每列之和都是15，但是对角线之和就变成了18和24，从这里可以引伸出幻方的第三个特点。

4	9	2	3	5	7
3	5	7	4	9	2
8	1	6	8	1	6

3、对于洛书和1-9等9个连续自然数组成三阶幻方来说，最中间的数字一定是5，对于其他三阶幻方最中间的方格中的数字，一定是所有数字的中间数。四阶幻方、五阶幻方不一定要中间数字排在中间，但是应该说中间数字放在中间，应该是最规范的排列法。例如下面左图将1放在中间，对角线的和不能满足要求，下面右图将2放在中间就行了。

1	2	3	2	3	1
3	1	2	1	2	3
2	3	1	3	1	2

[ 本帖最后由 qdylz 于 2009-1-16 14:23 编辑 ]

作者: 博涛 时间: 2009-1-16 17:07
版主
幻方要几年级会学到?

作者: happy_99 时间: 2009-1-18 11:48
呵呵，今天看版主的这些图和洛方的故事，猛然想起以前有人在鼠版发的智商测试题，最后有几道题，当时一点答题方向都没有，现在想来说不定应该按照幻方的思路来。

有时间再回去看看。

作者: qdylz 时间: 2009-1-19 10:00
好了，开始做题了，先来个简单的

将下图中的数重新排列，使得每行、每列及两条对角线上的三个数之和都相等。

22	30	26
22	30	26
22	30	26

这道题幻和是22+26+30＝78，78/3＝26，因此26这个数应该放在中间，将三个26放在一条对角线上，22、30往两边分别填写，确保其余的行、列（对角线）都有22、26、30三个不同的数。

26	30	22	30	22	26
22	26	30	22	26	30
30	22	26	26	30	22

再来一个

图中所示的三阶幻方的幻和是18，请把这个三阶幻方填完整。

		9
10	6

这道题也很简单，幻和等于18，即每行、每列及对角线之和都等于18，第一步可以把中间行和一条对角线补充完整

		9
10	6	2
3

第二步可以补充左右两条边列

5		9
10	6	2
3		7

第三步填充完中间列

5	4	9
10	6	2
3	8	7

作者: qdylz 时间: 2009-1-19 11:01
做个稍微难一些的

在下图的每个空格中填入小于12且互不相同的九个自然数，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都等于21。

8

这道题只填了一个数，已知了幻和21，中间数很显然是7，对角线很容易填充完整。

8
	7
		6

往后好像有点难度，似乎有点找不到头绪。剩下的数字随便填写吗？显然不行。还是继续观察洛书中的那个幻方吧，角上4个数都是偶数，中间5个数都是奇数，即4个角上数字的奇偶性是相同的，已经有了两个角8和6了，把右上角先假定为10看看。

8		10
	7
		6

问题好像迎刃而解，假设是正确的。

8	3	10
9	7	5
4	11	6

作者: 博涛 时间: 2009-1-19 11:58
第二个例子的幻方之和是怎么算出来的?

作者: qdylz 时间: 2009-1-19 14:11
标题: 回复 #9 博涛的帖子
那是题目给定的条件，见题目中红色部分

作者: qdylz 时间: 2009-1-19 16:00
用方程解幻方

下列各图中的九个小方格内各有一个数字，而且每行、每列及每条对角线上的三个数之和都相等，求x。

	33
9	17
		x

为了求解方便，我们还需要再加设一个未知数y，如下图

	33
9	17
y		x

根据中间列和第三行之和相等，可知x+y=33+17=50
根据对角线和左边第一列之和相等，可知x+17=y+9，即y-x=8
解方程，得x＝21，y＝29。
最终解得幻方是这样的

13	33	5
9	17	25
29	1	21

作者: qdylz 时间: 2009-1-19 16:50
用方程解幻方之二

下列各图中的九个小方格内各有一个数字，而且每行、每列及每条对角线上的三个数之和都相等，求x。

	12	5
6	x

根据幻方的性质，在都包含左上角数字的上面第一行和左边第一行之和相等，可以得知左下角数字为11。

	12	5
6	x
11

中间列上下两个数之和应该等于右上角和左下角的数字之和，即中间列下面的数字+12＝11+5，中间列下面数字为4；
同样，可以解得中间行右面数字为10。

	12	5
6	x	10
11	4

对角线之和为x+11+5，上面第一行之和为左上角数字+12+5，可知左上角数字为x-1；同理，右下角数字为x+1。
两条对角线之和相等，x+11+5＝(x-1)+x+（x+1），x＝8。

7	12	5
6	8	10
11	4	9

作者: 博涛 时间: 2009-1-19 17:49
谢谢
受教了
原来幻方是这样解的
掩面很害羞的说
俺长了这么多年
第一次知道怎么解
现在的孩子懂的真的好厉害呀

作者: qdylz 时间: 2009-1-20 11:03

原帖由 happy_99 于 2009-1-18 11:48 发表
呵呵，今天看版主的这些图和洛方的故事，猛然想起以前有人在鼠版发的智商测试题，最后有几道题，当时一点答题方向都没有，现在想来说不定应该按照幻方的思路来。

有时间再回去看看。

刚才下载了这一帖子http://bbs.etjy.com/viewthread.php?tid=139773&extra=page%3D1的文件，发现一道题目：

在下图所示的的九宫图中，不同的汉字代表不同的的数，每行、每列和两条对角线上各数之和相等。已知中＝21，学＝9，欢＝12，则希、望、杯的和是多少？

中	小	学
希	望	杯
受	欢	迎

不知这题和你见过的是不是差不多？

题目答案中直接给出了结果，并且说要解方程。我认为不解方程也很简单。根据题目，初始的幻方图是这样的

21		9

	12

中央方格的数字可以直接求出，望＝21+9-12＝18；
希＝望+学－中＝18+9-21＝6；
杯＝望+中－学＝18+21-9＝30；
幻和＝希+望+杯＝6+18+30＝54。

[ 本帖最后由 qdylz 于 2009-1-20 11:07 编辑 ]

作者: 傻丫头 时间: 2009-1-20 13:45
学习了。

作者: cxnxj 时间: 2009-2-2 14:51
学习了，谢谢！长见识

作者: qdylz 时间: 2009-3-12 09:39
发一个四阶幻方，1-16共16个数，每行、每列和对角线之和都是34。

4	10	5	15
13	7	12	2
11	1	14	8
6	16	3	9

作者: qdylz 时间: 2009-3-20 09:17
20、在图13的九个方格中，每行、每列，每条对角线上的三个数的和都相等，则a+b+c+d=

12	a	B
1	c	d
m	11	n

这是今年全国希望杯小学数学邀请赛四年级的最后一道题，看来应该是有难度的一道题。

先看左边第一列和下面一行和应该相等，即m+1+12＝m+11+n，n＝2；
再看对角线和中间行，c+n+12＝c+2+12＝c+1+d，d＝13；
再看上面一行和右边列，B+a+12＝B+d+n＝B+13+2，a＝3；
最后看左边一行和对角线，m+1+12=m+B+c，B+c＝1+12＝13；

a+B+c+d＝3+13+13＝29。

作者: hutianyang 时间: 2009-3-20 14:41
看了前面几个，我家儿子还没有学到这个地方，学到时再细细研究。

作者: phoenix 时间: 2009-4-13 13:12
学习了，这个我看的都听绕，要是做估计也能做出来，就是速度不行，这样的考试也是过不了关的

多么庆幸我小时候没有奥数啊

作者: qdylz 时间: 2009-4-14 12:41
标题: 回复 #20 phoenix 的帖子
都是熟能生巧。小学的奥数，数学思维是一方面，训练也是一方面。

对于有些孩子的确不适合学习奥数，学了也跟不上，
对于有些数学思维强的孩子来说，不经过一定的训练也不能得到好名次。

作者: 漂亮的小汽车 时间: 2009-4-14 14:12
太好玩了，大开眼界。

作者: lusea01 时间: 2009-5-20 20:32
好神奇的洛书,知道这个故事,没有想到这方面.楼主太有才了!

作者: 人生有几何 时间: 2010-12-9 16:45
幻方不复杂，但也要了解原理才行。

作者: candyxiao020 时间: 2010-12-10 14:32
多谢超版以前的好帖，最近正琢磨和女儿自学幻方，先从这个贴子入手。

作者: candyxiao020 时间: 2010-12-10 14:51
看了单尊的举一反三上面介绍了“罗伯法”，据说适用于所有奇数阶幻方。看得很绕啊，“1居上行正中央，依次放在右上角。上出框时往下填，右出框是左边放。排重便在下格填，右上排重一个样。”看得我稀里糊涂。请问超版，对于从来没有接触过幻方的孩子，有必要让她记得这个“公式”吗？

作者: candyxiao020 时间: 2010-12-10 14:59
标题: 回复 #17 qdylz 的帖子
请问超版，你这个四阶幻方怎样填出来的，遇到四阶幻方，没有中间的数字可遵循，又该用什么办法呢？超版能不能举个实例说明一下。

作者: candyxiao020 时间: 2010-12-10 15:29
要请教的问题还真多，看了一下，并非所有三阶幻方四个角上数字的奇偶性都相同，是否只局限于“洛书”？

作者: 漂亮的小汽车 时间: 2010-12-11 00:05
小丁会用罗伯特，几阶都能填出来。
但只能解决一种规律的幻方，其他的还得自己找规律。

作者: qdylz 时间: 2010-12-11 09:35
标题: 回复 #26 candyxiao020 的帖子
这个方法第一次听说，试着排了排，应该是这样。

8	1	6
3	5	7
4	9	2

跟洛书正好是上下换行了。

按照洛书的排列规则，应该把顺口溜改一下：
1居下行正中央，依次放在右下角。下出框时往上填，右出框是左边放。排重便在上格填，右下排重一个样。

初学幻方记住这个公式应该简单一些吧。

作者: qdylz 时间: 2010-12-11 09:47
标题: 回复 #27 candyxiao020 的帖子
这个吗，我先不说，17楼的那个四届幻方让她仔细看看，能否自己看出来？

作者: qdylz 时间: 2010-12-11 09:49

原帖由 candyxiao020 于 2010-12-10 15:29 发表
要请教的问题还真多，看了一下，并非所有三阶幻方四个角上数字的奇偶性都相同，是否只局限于“洛书”？

我表述有误，连续自然数的三届幻方四个角上数字的奇偶性相同。

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